向量的叉積

向量積，也被稱為叉積（即交叉乘積）、外積，是一種在向量空間中向量的二元運算。與點積不同，它的運算結果是一個偽向量而不是一個標量。並且兩個向量的叉積與這兩個向量都垂直。 定義： 兩個向量a和b的叉積寫作a × b（有時也被寫成a ∧ b，避免和字母x混淆）。叉積可以被定義為： 在這里θ表示'a和b之間的角度（0° ≤ θ ≤ 180°），它位於這兩個矢量所定義的平面上。而n是一個與a、b所在平面均垂直的單位矢量。 這個定義有一個問題，就是同時有兩個單位向量都垂直於a和b：若n滿足垂直的條件，那么 -n也滿足。 “正確”的向量由向量空間的方向確定，即按照給定直角坐標系 (i, j, k)的左右手定則。若 (i, j, k)滿足右手定則，則 (a, b, a × b)也滿足右手定則；或者兩者同時滿足左手定則。 一個簡單的確定滿足“右手定則”的結果向量的方向的方法是這樣的：若坐標系是滿足右手定則的，當右手的四指從a以不超過180度的轉角轉向b時，豎起的大拇指指向是c的方向。由於向量的叉積由坐標系確定，所以其結果被稱為偽向量。

矩陣形式：

給定直角坐標系的單位向量i，j，k滿足下列等式：

i × j = k j × k = i k × i = j

通過這些規則，兩個向量的叉積的坐標可以方便地計算出來，不需要考慮任何角度：設

a = a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k = [ a ₁, a ₂, a ₃]

b = b ₁ i + b ₂ j + b ₃ k = [ b ₁, b ₂, b ₃]

則

a × b = [a ₂b ₃ − a ₃b ₂, a ₃b ₁ − a ₁b ₃, a ₁b ₂ − a ₂b ₁]   (這個式子可以用來方便地計算平面法向量)

上述等式可以寫成矩陣的行列式的形式：

叉積也可以用四元數來表示。注意到上述i，j，k之間的叉積滿足四元數的乘法。一般而言，若將向量[a₁, a₂, a₃]表示成四元數a₁i + a₂j + a₃k，兩個向量的叉積可以這樣計算：計算兩個四元數的乘積得到一個四元數，並將這個四元數的實部去掉，即為結果。關於四元數的信息可以參考這里。