向量的叉积

向量积，也被称为叉积（即交叉乘积）、外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直。 定义： 两个向量a和b的叉积写作a × b（有时也被写成a ∧ b，避免和字母x混淆）。叉积可以被定义为： 在这里θ表示'a和b之间的角度（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。而n是一个与a、b所在平面均垂直的单位矢量。 这个定义有一个问题，就是同时有两个单位向量都垂直于a和b：若n满足垂直的条件，那么 -n也满足。 “正确”的向量由向量空间的方向确定，即按照给定直角坐标系 (i, j, k)的左右手定则。若 (i, j, k)满足右手定则，则 (a, b, a × b)也满足右手定则；或者两者同时满足左手定则。 一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。由于向量的叉积由坐标系确定，所以其结果被称为伪向量。

矩阵形式：

给定直角坐标系的单位向量i，j，k满足下列等式：

i × j = k j × k = i k × i = j

通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

a = a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k = [ a ₁, a ₂, a ₃]

b = b ₁ i + b ₂ j + b ₃ k = [ b ₁, b ₂, b ₃]

则

a × b = [a ₂b ₃ − a ₃b ₂, a ₃b ₁ − a ₁b ₃, a ₁b ₂ − a ₂b ₁]   (这个式子可以用来方便地计算平面法向量)

上述等式可以写成矩阵的行列式的形式：

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述i，j，k之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量[a₁, a₂, a₃]表示成四元数a₁i + a₂j + a₃k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。关于四元数的信息可以参考这里。