馬爾可夫不等式
若隨機變量\(X\)只取非負值，則任意\(a>0\)，有\(P(X>=a)<=\frac{E(X)}{a}\)
該不等式的證明主要是利用對期望概念的理解，根據下圖的計算過程走就是了。
該不等式對隨機變量的信息利用不夠全面，只使用了期望進行計算，所以計算出來的概率上界比較寬松。
據此推出的切比雪夫不等式應用比較廣泛。
切比雪夫不等式
切比雪夫不等式的一種推導方式是馬爾科夫不等式的特殊情況。
取\(Y=(X-\mu)^2\)，則有\(E(Y)=\sigma^2\)，將其帶入到馬爾可夫不等式中即可得證。
還有一種推導方式是利用密度函數計算，具體過程是從參考鏈接2搬來的。
參考鏈接：
Markov不等式的直觀理解 - 分析101的文章 - 知乎
https://zhuanlan.zhihu.com/p/358041844
切比雪夫不等式及其簡單證明 - 黃小寶的文章 - 知乎
https://zhuanlan.zhihu.com/p/146451175