數學分析——集合理論：集合的基本概念

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集合理論：集合的基本概念

集合基礎：定義

定義 1（集合）：具有某種特定性質的，具體的或抽象的對象匯集的總體稱為 集合（Set）。這些對象稱為是集合的 元素。

符號表示：通常情況下，

• 用大寫字母 \(A,B,C,S,T,\cdots\) 等來表示 集合;
• 用小寫字母 \(x,y,z,\cdots\) 等來表示 集合中的 元素。

集合基礎：表示法

枚舉法

所謂 枚舉法 就是將集合中的元素一一列舉出來。

枚舉法——有限集合

集合的元素個數有限時，很容易理解，就是將所有的元素一一列舉出來。

示例：以光學中的三基色為元素的集合。
解：

\[\{\text{紅},\text{綠},\text{藍}\}。 \]

示例：以 \(a,b,c,d\) 為元素的集合。
解：

\[\{a,b,c,d\}。 \]

枚舉法——無限集合

枚舉法不僅可以應用於元素個數有限的集合，也適用於一些“特殊的”無限集合。

具有明顯 變化規律 的集合，也可以使用 枚舉法 進行表示。

示例：正整數集合 \(\mathbb{N}_{+}\)。
解：

\[\mathbb{N}_{+}=\{1,2,3,\cdots,n\cdots\}。 \]

示例：整數集合 \(\mathbb{Z}\)。
解：

\[\mathbb{Z} = \{0,\pm 1,\pm,2\pm 3,\cdots,\pm n,\cdots\}。 \]

描述法

設 \(S\) 是具有某種某種性質 \(P\) 的元素全體構成的集合，則可將該集合表示為

\[S = \{x ~| ~ x \text{具有性質} P\}。 \]

示例：由 \(x^2=2\) 的根組成的集合。
解：

\[S = \{x ~ | ~ x^2=2\}。 \]

示例：有理數集合 \(\mathbb{Q}\)。
解：

\[\mathbb{Q} = \{x ~ | ~ x = \frac{p}{q},p \in \mathbb{Z} ~ \text{且} ~ q \in \mathbb{N}_{+}\}， \]

或者表示為：

\[\mathbb{Q} = \{x ~ | ~ x = \frac{p}{q},p,q \in \mathbb{Z} ~ \text{且} ~ q \ne 0\}。 \]

集合基礎：性質

性質 1（確定性）：對於任意的一個元素，它要么屬於某一指定的集合，要么不屬於該集合。

性質 2（互異性）：集合中的元素是相異的，即集合中不存在相同的元素。

性質 3（無序性）：集合中的元素之間不存在次序關系。

集合基礎：關系

兩個集合之間具有兩種重要的關系：蘊含 與 相等。

蘊含

定義 2（蘊含）：設 \(S,T\) 是兩個集合，若集合 \(S\) 中的任一元素都是集合 \(T\) 中的元素，則稱集合 \(S\) 蘊含於 集合 \(T\)，或稱集合 \(T\) 包含 集合 \(S\)。即

\[x \in S ~ \Rightarrow ~ x \in T。 \]

注：\(\Rightarrow\) 稱為 蘊含符號。

子集

定義 3（子集）：設 \(S,T\) 為兩個集合，若集合 \(S\) 蘊含於 集合 \(T\)，則稱集合 \(S\) 為集合 \(T\) 的 子集。記作 \(S \subseteq T\)。

真子集

定義 4（真子集）：設 \(S,T\) 為兩個集合，且集合 \(S\) 是集合 \(T\) 的子集，若存在

\[x \in T ~ \text{且} ~ x \notin S， \]

則稱集合 \(S\) 是集合 \(T\) 的 真子集、

定理 \(\mathbb{1}\)：集合的 蘊含關系 具有以下性質：
\((i)~\) 反身性：對於任意的集合 \(S\)，都有 \(S \subseteq S\)；
\((ii)\) 傳遞性：對於任意的集合 \(A,B,C\)，若有 \(A \subseteq B\)，\(B \subseteq C\)，則 \(A \subseteq C\)。

相等

定義 5（集合相等）：設 \(S,T\) 為兩個集合，若集合 \(S\) 與集合 \(T\) 中的元素完全相同，則稱集合 \(S\) 與集合 \(T\) 相等。

定義 5（集合相等）‘：設 \(S,T\) 為兩個集合，若集合 \(S\) 是集合 \(T\) 的子集的同時，集合 \(T\) 也是集合 \(S\) 的子集，則稱集合 \(S\) 與集合 \(T\) 相等。即：

\[S \subseteq T ~ \text{且} ~ T \subseteq S ~ \Leftrightarrow ~ S = T。 \]

注：\(\Leftrightarrow\) 為等價符號，稱為 "當且僅當"。

參考文獻

[1] 陳紀修,於崇華,金路著. 數學分析 上 第2版. 北京：高等教育出版社, 2004.06.
[2] 華東師范大學數學系編. 數學分析 上 第4版. 北京：高等教育出版社, 2010.07.