集合理論：集合的基本運算

集合有 並、交、差、補 四種基本運算。

集合的並

定義 1（集合的並）：設 \(A,B\) 為兩個集合，則由集合 \(A\) 和集合 \(B\) 中的所有元素匯集而成的集合稱為集合 \(A\) 和集合 \(B\) 的 並。記作 \(A \cup B\)。即：

\[A \cup B=\{x ~ | x \in A ~ \text{或} ~ x \in B\}。 \]

或者用純粹的邏輯符號表示：

\[A \cup B = \{x ~ | ~ x \in A \lor x \in B \} \text{。} \]

推廣：設 \(A_1,A_2,\cdots,A_n\) 為 \(n\) 個集合，則 \(n\) 個集合的並集可表示為：

\[A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \{x ~ | ~ x \in A_1 \lor x \in A_2 \lor \cdots \lor x \in A_n\} \text{，} \]

可簡單地記作：\(\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}{A_i}\)，即

\[\underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}{A_i} = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n \text{。} \]

集合的交

定義 2（集合的交）：設 \(A,B\) 為兩個集合，則由集合 \(A\) 和集合 \(B\) 中的公共元素匯集而成的集合稱為集合 \(A\) 和集合 \(B\) 的 交。記作 \(A \cap B\)。即：

\[A \cap B = \{x ~ | ~ x \in A ~ \text{且} ~ x \in B\}。 \]

或者用純粹的邏輯符號表示：

\[A \cap B = \{x ~ | ~ x \in A \land x \in B \} \text{。} \]

推廣：設 \(A_1,A_2,\cdots,A_n\) 為 \(n\) 個集合，則 \(n\) 個集合的並集可表示為：

\[A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \{x ~ | ~ x \in A_1 \land x \in A_2 \land \cdots \land x \in A_n\} \text{，} \]

可簡單地記作：\(\underset{i=1}{\overset{n}{\cap}}{A_i}\)，即

\[\underset{i=1}{\overset{n}{\cap}}{A_i} = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n \text{。} \]

集合的差

定義 3（集合的差）：設 \(A,B\) 為兩個集合，則由屬於集合 \(A\) 但不屬於集合 \(B\) 的所有元素匯集的集合稱為集合 \(A\) 與集合 \(B\) 的 差。記作 \(A \setminus B\) 或 \(A -B\)。即：

\[A \setminus B = \{x ~ | ~ x \in A ~ \text{且} ~ x \notin B\}。 \]

集合的補

定義4 （集合的補）：設 \(A,X\) 為兩個集合，且集合 \(A\) 是集合 \(X\) 的子集，則集合 \(X\) 與集合 \(A\) 的差集稱為集合 \(A\) 關於集合 \(X\) 的 補。記作 \(A_{X}^{C} = X \setminus A\)，或者簡記為 \(A^{C} = X \setminus A\)。即

\[A_{X}^{C} = \{x ~ | ~ x \in X ~ \text{且} ~ x \notin A\}。 \]

顯然集合的 差 與 補 滿足：

\[A \setminus B = A \cap B^{C}。 \]

集合的運算律

定理 1：設 \(A,B,C,X\) 均為集合，且 \(A,B,C\) 是集合 \(X\) 的子集，則：

\(\mathbf{1.} ~ \text{交換律}\)：

\[A \cup B = B \cup A,A \cap B = B \cap A\ \text{；} \]

\(\mathbf{2.} ~ \text{結合律}\)：

\[(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C),(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\text{；} \]

\(\mathbf{3.} ~ \text{分配律}\)：

\[A \cup (B \cap C) = (A \cup B)\cap (A \cup C),A \cap (B \cup C) = (A \cap B)\cup (A \cap C)\text{；} \]

\(\mathbf{4.} ~ \text{對偶律}(De ~ Morgan \text{公式})\)：

\[(A \cup B)^{C} = A^{C} \cap B^{C},(A \cap B)^{C} = A^{C} \cup B^{C}。 \]

參考文獻

[1] 陳紀修,於崇華,金路著. 數學分析 上 第2版. 北京：高等教育出版社, 2004.06.
[2] 華東師范大學數學系編. 數學分析 上 第4版. 北京：高等教育出版社, 2010.07.
[3] 周性偉. 實變函數 第2版. 北京：高等教育出版社, 2007.01.