数学分析——集合理论：集合的基本概念

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集合理论：集合的基本概念

集合基础：定义

定义 1（集合）：具有某种特定性质的，具体的或抽象的对象汇集的总体称为 集合（Set）。这些对象称为是集合的 元素。

符号表示：通常情况下，

• 用大写字母 \(A,B,C,S,T,\cdots\) 等来表示 集合;
• 用小写字母 \(x,y,z,\cdots\) 等来表示 集合中的 元素。

集合基础：表示法

枚举法

所谓 枚举法 就是将集合中的元素一一列举出来。

枚举法——有限集合

集合的元素个数有限时，很容易理解，就是将所有的元素一一列举出来。

示例：以光学中的三基色为元素的集合。
解：

\[\{\text{红},\text{绿},\text{蓝}\}。 \]

示例：以 \(a,b,c,d\) 为元素的集合。
解：

\[\{a,b,c,d\}。 \]

枚举法——无限集合

枚举法不仅可以应用于元素个数有限的集合，也适用于一些“特殊的”无限集合。

具有明显 变化规律 的集合，也可以使用 枚举法 进行表示。

示例：正整数集合 \(\mathbb{N}_{+}\)。
解：

\[\mathbb{N}_{+}=\{1,2,3,\cdots,n\cdots\}。 \]

示例：整数集合 \(\mathbb{Z}\)。
解：

\[\mathbb{Z} = \{0,\pm 1,\pm,2\pm 3,\cdots,\pm n,\cdots\}。 \]

描述法

设 \(S\) 是具有某种某种性质 \(P\) 的元素全体构成的集合，则可将该集合表示为

\[S = \{x ~| ~ x \text{具有性质} P\}。 \]

示例：由 \(x^2=2\) 的根组成的集合。
解：

\[S = \{x ~ | ~ x^2=2\}。 \]

示例：有理数集合 \(\mathbb{Q}\)。
解：

\[\mathbb{Q} = \{x ~ | ~ x = \frac{p}{q},p \in \mathbb{Z} ~ \text{且} ~ q \in \mathbb{N}_{+}\}， \]

或者表示为：

\[\mathbb{Q} = \{x ~ | ~ x = \frac{p}{q},p,q \in \mathbb{Z} ~ \text{且} ~ q \ne 0\}。 \]

集合基础：性质

性质 1（确定性）：对于任意的一个元素，它要么属于某一指定的集合，要么不属于该集合。

性质 2（互异性）：集合中的元素是相异的，即集合中不存在相同的元素。

性质 3（无序性）：集合中的元素之间不存在次序关系。

集合基础：关系

两个集合之间具有两种重要的关系：蕴含 与 相等。

蕴含

定义 2（蕴含）：设 \(S,T\) 是两个集合，若集合 \(S\) 中的任一元素都是集合 \(T\) 中的元素，则称集合 \(S\) 蕴含于 集合 \(T\)，或称集合 \(T\) 包含 集合 \(S\)。即

\[x \in S ~ \Rightarrow ~ x \in T。 \]

注：\(\Rightarrow\) 称为 蕴含符号。

子集

定义 3（子集）：设 \(S,T\) 为两个集合，若集合 \(S\) 蕴含于 集合 \(T\)，则称集合 \(S\) 为集合 \(T\) 的 子集。记作 \(S \subseteq T\)。

真子集

定义 4（真子集）：设 \(S,T\) 为两个集合，且集合 \(S\) 是集合 \(T\) 的子集，若存在

\[x \in T ~ \text{且} ~ x \notin S， \]

则称集合 \(S\) 是集合 \(T\) 的 真子集、

定理 \(\mathbb{1}\)：集合的 蕴含关系 具有以下性质：
\((i)~\) 反身性：对于任意的集合 \(S\)，都有 \(S \subseteq S\)；
\((ii)\) 传递性：对于任意的集合 \(A,B,C\)，若有 \(A \subseteq B\)，\(B \subseteq C\)，则 \(A \subseteq C\)。

相等

定义 5（集合相等）：设 \(S,T\) 为两个集合，若集合 \(S\) 与集合 \(T\) 中的元素完全相同，则称集合 \(S\) 与集合 \(T\) 相等。

定义 5（集合相等）‘：设 \(S,T\) 为两个集合，若集合 \(S\) 是集合 \(T\) 的子集的同时，集合 \(T\) 也是集合 \(S\) 的子集，则称集合 \(S\) 与集合 \(T\) 相等。即：

\[S \subseteq T ~ \text{且} ~ T \subseteq S ~ \Leftrightarrow ~ S = T。 \]

注：\(\Leftrightarrow\) 为等价符号，称为 "当且仅当"。

参考文献

[1] 陈纪修,于崇华,金路著. 数学分析 上 第2版. 北京：高等教育出版社, 2004.06.
[2] 华东师范大学数学系编. 数学分析 上 第4版. 北京：高等教育出版社, 2010.07.