Hall定理/正則二部圖完美匹配

相異代表系

設 \(S_1,S_2,\cdots,S_m\) 是一族集合，它們的一個相異代表系為一個 \(m\) 維向量 \((x_1,x_2,\cdots,x_m)\)

滿足：

• 代表性：\(x_i\in S_i\)
• 互異性：\(\forall i\ne j,x_i\ne x_j\)

相異代表系也簡稱為SDR

對於一族指標 \(J\subseteq[m]\)，我們定義它們的並 \(\text{union}(J)\) 為：

\[\text{union}(J)=\bigcup\limits_{j\in J}S_j \]

Hall定理

有限集族 \(S_1,S_2,\cdots,S_m\) 存在SDR當且僅當HC成立，其中HC：\(\forall J\subseteq[m],|\text{union}(J)|\ge|J|\)

（嚴謹性未知）

筆者口胡的反證法：如果一個集合滿足HC但是不存在SDR，那么一定存在一個 \(S_i\)，其中的元素無法選擇，並且對於 \(j\ne i\)，\(S_j\) 中選擇的元素無法更換，因為如果可以更換，那么我們相應的更換 \(S_k,k\ne j,k\ne i\) 中的元素，直到更換至 \(S_i\)，即存在SDR，此時我們不選擇 \(S_i\)，余下的集族不滿足HC，矛盾

（正規證明）

使用數學歸納法：

定義一個指標族 \(J\) 臨界，若 \(\{S_j:j\in J\}\) 存在SDR，並且 \(|\text{union}(J)|=|J|\)

空集與全集如果是臨界指標族，那么稱為平凡的臨界指標族

首先我們討論 \(S_1,S_2,\cdots,S_m\) 不存在非平凡臨界指標族

顯然當 \(m=1\) 時成立，現在我們假設在小於 \(m\) 時均成立

顯然由HC得 \(S_m\) 非空，我們選擇一個元素 \(x_m\in S_m\)，將 \(S_i(1\le i< m)\) 里的 \(x_m\) 剔除，將此剔除后的集合的並函數設為 \(\text{union}^\prime(J)\)

注意到不存在非平凡臨界指標族，所以之后對於 \(J\subseteq[m-1]\)，有：

\[\begin{align*} |\text{union}^\prime(J)|&=|\text{union}(J)|+1 \\ &\ge|J|+1-1 \\ &\ge|J| \end{align*} \]

滿足了HC，之后構造SDR顯然，證畢

現在我們來討論存在非平凡臨界指標族的情況

由上例的思想，我們顯然可以將這一個非平凡臨界指標族捆綁起來，然后從剩余的里面剔除掉這個指標族的並，然后由於 \(J\) 是臨界的，我們直接展開即得

\(\bold{1.}\) 設 \((A_1,A_2,\cdots,A_m)\) 為 \(\{1,2,\cdots,n\}\) 的一個子集組，且關聯矩陣

\[\bold M=(m_{ij}),m_{ij}= \begin{cases} 1&i\in A_j \\ 0&i\notin A_j \end{cases} \]

可逆，證明 \((A_1,A_2,\cdots,A_m)\) 有SDR

證：

可逆 \(\Rightarrow\) 非降秩矩陣，證畢

\(\bold{2.}\) 01矩陣的最小覆蓋數 \(m\) 等於最大匹配數 \(M\)

證：

匹配顯然要找一對行與列都不同的 \(1\)，這一對 \(1\) 顯然要至少 \(1\) 條線來覆蓋，即 \(m\ge M\)

然后我們設 \(S_i\) 為一條橫線上存在的 \(1\) 的位置，在滿足最小覆蓋的情況下，顯然這東西滿足HC，因此存在一個SDR，可推出 \(M\ge m\)，即 \(m=M\)

正則二部圖完美匹配

二部圖 \(G=X\triangle Y\) 具有覆蓋了 \(X\) 的匹配當且僅當HC2成立，HC2：\(\forall J\subseteq X,|N(J)|\ge|J|\)

其中對於一個圖 \(G=(V,E)\)，\(N(v)=\{u\in V:u\sim v\}\)，\(u\sim v\) 當且僅當有邊連接它們

不難發現這就是HC換了個皮，證明也很顯然

定理：正則的二部圖一定存在完美匹配

設此二部圖為 \(G=X\triangle Y\)，並且 \(\forall y\in Y,\exist x\in X,x\sim y\)

設 \(\deg(v)=k\)，其中 \(\deg(v)\) 表示頂點 \(v\) 的度

事實上如果 \(G\) 中存在孤立點，那么此圖不存在邊

也就是說 \(E=\varnothing\)

現在我們來證明 \(|X|=|Y|\)，不難發現 \(\sum\limits_{x\in X}\deg(x)=\sum\limits_{y\in Y}\deg(y)\)，由此圖正則即可得

\(\forall J\in X\)，\(F=\{e:e\in E,e_f\in J,e_t\in Y\}\)，其中 \(e_f\) 與 \(e_t\) 分別是一條邊的起點與終點

則顯然有 \(|F|=k|J|\)，\(|F|\le k|N(J)|\)

\(|N(J)|\ge |J|\)，證畢