基本定義
\(Hall\) 定理是二分圖匹配的相關定理
用於判斷二分圖是否存在完美匹配
存在完美匹配的二分圖即滿足最大匹配數為 \(min(|X|,|Y|)\) 的二分圖,也就是至少有一邊的點全部被匹配到了
定理
設 \(M(U)\) 為與 \(U\) 中的點相連的點集，一個二分圖 \(U,V(|U|<=|V|)\) 存在完美匹配，滿足對於任意點集 \(x∈U\) 都有 \(|M(X)|>=|X|\)
必要性證明
連出去的邊數都不足點數,那么顯然不能構成完美匹配
充分性證明
假如存在一個滿足 \(Hall\) 定理的二分圖 , 且不滿足完美匹配
那么假設兩邊都存在一個未匹配的點 , 由於滿足 \(Hall\) 定理 , 這個沒有被匹配的點肯定有一條沒有被匹配的邊
那么假設這條邊對面的點被匹配過了 , 這個點和那個未匹配的點組成 \(|X|\) 后, 這個點又一定連向了除它匹配的點外的至少一個點
這樣下去就一定可以找到這條增廣路了 , 所以一定是可以滿足完美匹配的