Lucas定理
[原文]2017-02-14
[update]2017-03-28
Lucas定理
計算組合數取模，適用於n很大p較小的時候，可以將計算簡化到小於p
$ \binom{n}{m} \mod p ,\ p \ is \ prime$
$ n= n_k * p ^ k + n_{k-1} * p^{k-1}+ ... + n_2 * p^2 + n_1 * p + n_0 $
$ m=m_k * p ^ k +m_{k-1} * p^{k-1}+ ... +m_2 * p^2 +m_1 * p+m_0 $
$ \binom{n}{m} = \prod\limits_{i=0}^k \binom{n_i}{m_i} $
證明見參考資料 我不會告訴你我沒看的
實現：這個形式很像多項式啊變量為p，n和m迭代/=p然后算C(n%p,m%p)就行了
逆元也可以線性預處理
復雜度，如果忽略階乘的話，應該是\(O(\log_pN)\)吧
inv[1]=1; fac[0]=facInv[0]=1;
for(int i=1; i<=n; i++) {
if(i!=1) inv[i] = (P-P/i)*inv[P%i]%P;
fac[i] = fac[i-1]*i%P;
facInv[i] = facInv[i-1]*inv[i]%P;
}
ll lucas(int n, int m) {
if(n<m) return 0;
ll ans=1;
for(; m; n/=P, m/=P) ans = ans*C(n%P, m%P)%P;
return ans;
}
擴展Lucas定理
$P \ is \ not \ prime $
\(P\)進行質因子分解，然后對於每個質因子\(p_i^{e_i}\)都得到一個同余方程
$x\equiv a_i\pmod {p_i^{e_i}}\ $
用中國剩余定理合並就行了
但是$ \binom{n}{m}\mod p_i^{e_i} $怎么求？
只要計算階乘就行了，我們分成三部分：
比如：
$ n!=1∗2∗3∗4∗5∗6∗7∗8∗9∗10∗11∗12∗13∗14∗15∗16∗17∗18∗19 \( \) =(1∗2∗4∗5∗7∗8∗10∗11∗13∗14∗16∗17∗19)∗3^6∗(1∗2∗3∗4∗5∗6) $
假設當前質因子為\(p\)，\(p_i^{e_i}=pr\)
第一部分
\(p\)的倍數，有\(\frac{n}{p}\)個，提出\(p\)后形成了新的階乘，遞歸解決
第二部分
提出的\(p\) 因為不滿足互質沒法求逆元，所以放在最后計算\(n!\)中\(p\)出現次數然后分數線 上-下 就行了
計算方法：\(x=\lfloor{n\over p}\rfloor+\lfloor{n\over p^2}\rfloor+\lfloor{n\over p^3}\rfloor+...\)
證明？這不就是這整個求階乘算法過程產生的數量嗎？
第三部分
不是\(p\)的倍數的部分；可以按\(pr\)分塊，一共\(\frac{n}{pr}\)塊，結果都是相同的；最后一塊暴力計算即可
復雜度：計算階乘模\(p^a\)時復雜度\(O(p^a)\)
ll Pow(ll a,ll b,ll P){
ll ans=1;
for(;b;b>>=1,a=a*a%P)
if(b&1) ans=ans*a%P;
return ans;
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){
if(b==0) d=a,x=1,y=0;
else exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=(a/b)*x;
}
ll Inv(ll a,ll n){
ll d,x,y;
exgcd(a,n,d,x,y);
return d==1?(x+n)%n:-1;
}
ll Fac(ll n,ll p,ll pr){
if(n==0) return 1;
ll re=1;
for(ll i=2;i<=pr;i++) if(i%p) re=re*i%pr;
re=Pow(re,n/pr,pr);
ll r=n%pr;
for(int i=2;i<=r;i++) if(i%p) re=re*i%pr;
return re*Fac(n/p,p,pr)%pr;
}
ll C(ll n,ll m,ll p,ll pr){
if(n<m) return 0;
ll x=Fac(n,p,pr),y=Fac(m,p,pr),z=Fac(n-m,p,pr);
ll c=0;
for(ll i=n;i;i/=p) c+=i/p;
for(ll i=m;i;i/=p) c-=i/p;
for(ll i=n-m;i;i/=p) c-=i/p;
ll a=x*Inv(y,pr)%pr*Inv(z,pr)%pr*Pow(p,c,pr)%pr;
return a*(MOD/pr)%MOD*Inv(MOD/pr,pr)%MOD;
}
ll Lucas(ll n,ll m){
ll x=MOD,re=0;
for(ll i=2;i<=MOD;i++) if(x%i==0){
ll pr=1;
while(x%i==0) x/=i,pr*=i;
re=(re+C(n,m,i,pr))%MOD;
}
return re;
}