【學習筆記】Lucas定理

\(Lucas\)定理

$ C_n^m\pmod p\equiv C_{n\mod p}^{m\mod p}*C_{\lfloor n/p\rfloor}^{\lfloor m/p\rfloor}\pmod p $

一句話概括，就是一個組合數可以拆成\(P\)進制下的乘積

這個算法可以處理當\(m,n\)非常大的時候的取模\((\)當然你可以用高精度處理\()\)

需要注意的幾點

\(Lucas(x,0,mod)=1\)，直接返回\(1\)即可

注意處理階乘的數組 \(a[0]=1\)，因為\(0!=1\)

開\(long~long\)

注意處處取模

\(Describtion\)

給定\(n,m,p(1<=n,m,p<=10^5)\)

求\(C_{n+m}^m\ mod\ p\)

保證\(p\)為質數

\(Input\)

第一行一個數\(T(T<=10)\)，表示數據組數

第二行開始共\(T\)行，每行三個數\(n,m,p\)

\(Output\)

共\(T\)行,每行一個整數表示答案

\(Solution\)

就是模板，我又有什么可說的呢

用\(a[i]\)表示\(i\)的階乘，當然要取模
有個特別注意的點，當且僅當\(gcd(a,p)=1\)且\(p\)是質數時，\(a^{p-1}=1\pmod p\)(費馬小定理)成立，所以這個題直接用費馬小定理處理逆元即可，如果\(p\)為質數時不一定存在逆元，如果\(a\)比\(p\)大那么有可能\(p|a\)，\(a\)是\(p\)的倍數，這時候兩個數不互質，不存在逆元，不能用費馬小定理。所以\(a>p\)時格外小心，\(a<p\)時不存在這種情況。
具體細節自己看代碼吧

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define maxn 100010
#define ll long long
using namespace std;
ll a[maxn];
int T,n,m,p;
ll quickpower(ll A,int B,int mod)
{
	A%=mod;
	ll ans=1;
	while(B)
	{
		if(B&1)
		ans=(ans*A)%mod;
		A=(A*A)%mod;
		B>>=1;
	}
	return ans%mod;
}
inline int read()
{
	int x=0,f=1; char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
ll CC(ll n,ll m)
{
	/*注意判斷*/if(m>n) return 0;
	//注意取模 
	//費馬小定理求逆元 
	return ((a[n]*quickpower(a[m],p-2,p))%p*quickpower(a[n-m],p-2,p)%p); 
}
ll Lucas(ll n,ll m)
{
	if(!m) return 1;
	return CC(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p)%p;//注意取模 
}
int main()
{
	T=read();
	while(T--)
	{
		n=read(); m=read(); p=read();
		a[0]=1;//特別注意!!!
		for(int i=1;i<=p;++i) a[i]=(a[i-1]*i)%p;
		printf("%d\n",Lucas(n+m,m));
	}
	return 0;
}