PS：本文僅供作者本人記錄學習所用，所述的證明大多是極其不嚴謹的
內含大量顯然，證明過程中只用了一些初等的幾何知識，若想了解有關等周定理的嚴謹證明，請參閱：Isoperimetric inequality - Wikipedia（涉及高數和積分知識）
為了方便描述，我們約定：
- 本文所提到的多邊形均為簡單多邊形（復雜多邊形我完全不了解）；
- 本文所提到的多邊形的討論范圍統一限定在：與其邊數相等、周長相等的多邊形所構成的集合；
- 周長用 \(C\) 來表示；半周長用 \(P\) 來表示；面積用 \(S\) 來表示；邊用小寫字母 \(a,b,c,d\dots\) 表示，頂點和角用大寫字母 \(A,B,C,D\dots\) 表示，皆從左上角開始，順時針方向依次命名。
一、前言
起因是昨天組織的 \(21\) 級新生第一輪考核，里面有一道簽到題是這樣的：
簡述一下題意就是：周長為一定值的封閉曲線所能圍成的區域的最大面積是多少。
當初我自己做這道題的時候，想都沒想就覺得一定是在圍成圓時面積最大何況題面還提示了你要用圓周率，然后就理所當然地 \(AC\) 了；但在今年的新生考核中，卻發現很多新生都倒在了這一題，在和隊友們商量着寫題解的事情時我突然意識到這個結論我完全不會證，和隊友們商量了一下發現大伙也都不會一個能打的都沒有，然后就有了想證明一下這個結論的想法，於是便有了本文。
二、證明思路
我們要證的是：
周長為定值的封閉曲線圍成圓形時面積最大。（等周定理）
要初步地證明這個定理，我一開始的思路是，能否想辦法證明以下兩個命題為真：
命題1：正 \(n+1\) 邊形的面積大於正 \(n\) 邊形的面積；
命題2：多邊形中，正多邊形的面積最大。
畢竟我們知道圓形其實可以等價為邊數為 \(\infty\) 的正多邊形，如果以上兩個命題為真，則可粗略地認為得證了。（這樣顯然是極其不嚴謹的，但請原諒作者水平有限，只能想到這么多）
那么首先命題1顯然為真且很好證明，據我同學所說他們高中老師就給他們證過了，這里就不多加贅述了。我其實不太會證
難證的是命題2，我的想法是先從三角形、四邊形、五邊形這種邊數較少、看起來比較好證的多邊形開始證起，找到它們證明時的共通點，最后利用數學歸納法推出這一猜想的正確性，先試試行不行。
一些前置引理
引理1：若存在一個面積最大的多邊形，則它一定不是凹多邊形。
證明：對於一個凹多邊形，我們肯定可以把他的某個“凹下去”的部分翻折一下，使其周長不變，但面積更大，如下圖所示：
凹多邊形ABDC的面積顯然小於凸多邊形ABD'C的面積由於引理1的存在，我們只需討論凸多邊形即可，因此下文所提到的的多邊形均為簡單凸多邊形。
引理2：若一個多邊形存在不相等的邊，則至少有一對是鄰邊。
證明：反證法。假設一個多邊形存在不相等的邊，且這些不相等的邊都不是鄰邊，那么每條邊都和它的鄰邊相等，則這個多邊形的每條邊都相等，即不存在不相等的邊，這與假設矛盾，故得證。
引理3：若存在一個面積最大的多邊形，則它的各邊長一定相等。
證明：同樣是反證法。假設一個多邊形面積最大，為 \(S\)，且存在不相等的邊，由引理2可知，至少有一對不相等的邊是鄰邊，設為 \(a,b\)。
那么我們可以連接 \(AC\)，使 \(ABC\) 構成一個三角形，根據海倫公式和基本不等式，我們可以知道，當 \(a=b\) 時，\(S_{ABC}\) 為最大（若不太理解可以看下方命題3的證明）。
因此我們可以在保持 \(a\) 與 \(b\) 之和不變的前提下調整點 \(B\) 的位置（此時點 \(B\) 的軌跡是一個橢圓），使得 \(a=b\)。
設調整之后的新面積為 \(S'\)，顯然有 \(S'>S\)，這與假設矛盾，故得證；換言之，如果某個多邊形存在不相等的邊，則我們一定可以通過上述的調整，使得它的面積變大，所以存在不相等的邊的多邊形一定不是面積最大的，即面積最大的多邊形一定是各邊都相等的。
調整一下變為：
其實還有一個重要的大前提要證，即證明給定周長的面積最大的多邊形總是存在，但這個就太難證了，完全沒有思路，聽說可以用數分的方法來證，咱們就默認吧，肯定是存在的。所以說本文不夠嚴謹啊啊啊啊
三角形
命題3：三角形中，正三角形面積最大。
根據海倫公式：\(\displaystyle S=\sqrt{P*(P-a)*(P-b)*(P-c)}\)，\(C\) 為定值，則 \(P\) 為定值，則 \((P-a)+(P-b)+(P-c)\) 為定值。
和為定值，則由基本不等式可得：當且僅當 \(P-a=P-b=P-c\) ，即 \(a=b=c\) 時，\((P-a)*(P-b)*(P-c)\) 取到最大值，此時 \(S\) 最大，因此，命題3為真。
四邊形
命題4：四邊形中，正四邊形面積最大。
由引理3可知，面積最大的四邊形一定是個菱形，而對於任意的菱形 \(ABCD\)，連接對角線 \(AC\)，把菱形分為 \(ABC\) 和 \(ADC\) 兩個三角形，有：$$\displaystyle S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ADC}=\frac 12ab\sin B+\frac 12cd\sin D=\frac 12ab(\sin B+\sin D)$$顯然當 \(\sin B=\sin D=1\)，即 \(B=D=90°\) 時取到最大值，此時 \(ABCD\) 是一個正四邊形，因此，命題4為真。
五邊形
命題5：五邊形中，正五邊形面積最大。
同樣地，由引理3可知，面積最大的五邊形的五條邊一定相等，但五條邊相等的五邊形一定是正五邊形嗎？顯然不一定：
如圖，\(\triangle ABC\) 是一個邊長為 \(2\) 的等邊三角形，\(ABCDE\) 是一個邊長都為 \(2\) 的五邊形，但它並不是正五邊形，接下來怎么證呢？
然后我就不會證了，欸嘿😋。
三、碎碎念
卡在五邊形這里以后，我去百度了很多有關等周定理的證明，發現最早嘗試證明等周定理的人是公元前五世紀的古希臘人西奧多羅斯。他的證明思路和我是一樣的，先證周長一定的多邊形中，正多邊形面積最大（即命題2），再證正 \(n+1\) 邊形比正 \(n\) 邊形面積大（即命題1），最后類推出圓的面積最大這一結論。但他證明命題2的方法我在網上並沒找到，仔細找了半天，才從各種文章里看出字來，全篇都寫着四個字是“眾所周知”！
於是我琢磨着這是不是一個很好證的東東，就跑去百度了一下，結果發現網上證明命題2的方法都是靠等周定理死鎖了，也有人說上文所提到的命題2其實是等周定理的一個推論到底是先有雞還是先有蛋，中間還涉及到啥克拉美定理（網上有關資料甚少），把我徹底搞麻了。也不知道西奧多羅斯到底是咋證的，還是說傳說有誤，其實他根本沒有證過等周定理？總而言之，如果想按照我一開始的思路來證的話，不僅不夠嚴謹，而且還遠沒有想象中的那么好證（甚至根本證不出來？），換句話說，我的努力，全 部 木 大。\(okok\)，我宣布，此貼終結😭。
唉，想到自己花了挺多時間來研究，到頭來只得到了這么個不上不下的結果，心里未免有些沮喪；但轉眼間又想起昨天學弟跟我說的：“大多情況下，寫博客寫文章都是沒啥意義的，主要還是自己寫的時候開心，寫完之后很爽，那就夠了；而如果有人看了你的博客之后，也覺得很爽，給你點了個贊，那你們就完成了一次靈魂的溝通，那就更 \(perfect\) 了”，蕪湖，學弟說的太好了，升華主題了屬實是。所以雖然最后沒證出來，但我個人覺得也還好，起碼不會覺得浪費了時間，畢竟我自己在寫的時候還是挺開心的，也確實思考了不少並學到了一些新的知識。仔細想想的話，雀食，這樣就足夠了嗷。
四、補充的知識
這里再貼一些在此過程中了解的一些定理及其證明，以便隨時復習，萬一哪天就用上了呢。雖然我覺得概率無限接近於零
中文wiki上有關等周定理的初等證明，這里直接上圖。懶得抄一遍了
克拉美定理：若存在一個各邊長固定、面積最大的多邊形，則它一定存在外接圓。
存在外接圓的多邊形又叫 cyclic polygon，有些早期的文章里會用到這個說法，但現在很少見了，wiki 上有關外接圓的詞條里有提到過。
下面給出一個利用了等周定理的簡單易懂的證明：
證明：
假設有兩個各邊長相等的多邊形，一個面積為 \(S_1\)，一個面積為 \(S_2\)，\(S_1\) 存在外接圓，\(S_2\) 不存在外接圓。我們作出 \(S_1\) 的外接圓，假設該圓的面積為 \(S\)、由 \(S_1\) 的各個邊作為弦切出來的弓形的面積之和為 \(S_3\)，則有 \(S_1=S-S_3\)；
然后我們對 \(S_2\) 的每一條邊都作出一樣的弓形（因為\(S_1\) 和 \(S_2\) 各邊長相等，所以一定可以做出來），可以得到一個完全包裹住 \(S_2\) 的新曲線，假設這個新曲線所圍的面積為 \(S'\)，則有 \(S_2=S'-S_3\)；
而 \(S'\) 的周長和 \(S\) 的周長相等（它們都是由同樣的弧形圍成的），根據等周定理，有 \(S>S'\)，因此 \(S_1>S_2\)，且此時 \(S\) 是最大的，即 \(S_1\) 也是最大的，得證。
也就是說，如果一個多邊形不存在外接圓，則我們在不改變各邊長的前提下不停地調整它的頂點位置和各個角度，直至讓它變成一個 cyclic polygon，此時它的面積達到最大。這樣的調整總是可行的，因為我們前面已經說明默認了面積最大的多邊形一定是存在的。
個人感覺克拉美定理跟上面的引理3有點像：前者告訴我們在周長不變的前提下，可以通過調整邊長使得多邊形面積變大；后者告訴我們在各邊長不變的前提下，可以通過調整角度使得多邊形面積變大。
在等周定理的幫助下我們證明了克拉美定理，而有了克拉美定理和引理3，我們就可以很輕松地證明命題2為真了。
證明：對於一個周長固定的任意多邊形，由引理3可知當它取到最大面積時，它的各邊長一定相等；同時又由克拉美定理可知，當它取到最大面積時，它一定存在外接圓，即它的各頂點共圓，這就可以推出它的各個角相等，即取到最大面積時，該多邊形一定是個正多邊形，得證。
OA=OB=OC=OD=OE，AB=BC=CD=DE=EA，五個三角形全等，五邊形的各個角相等。
所以之前看到有人說命題2是等周定理的推論，雀食也有一定道理，有了等周定理，可以證出克拉美定理，繼而證出命題2為真。
五、參考資料&&工具
- 中文wiki-等周定理條目
- Isoperimetric inequality - Wikipedia
- 知乎-如何用簡單的方法證明「在周長一定時，圓的面積最大」？
- 知乎-克拉美定理怎么證明？
- 百度文庫-定邊長的多邊形面積最大值問題
- 新浪博客-周長給定的五邊形以正五邊形的面積最大
- 周長一定的n邊形為什么正n邊形面積最大？等周定理有何應用？什么是最大的小多邊形？嗶哩嗶哩 bilibili
- Maximum Polygon Area (drking.org.uk)
- 繪圖工具-GeoGebra
