中國剩余定理學習筆記

本文轉載自查看原文 2016-09-28 22:17 22696 中國剩余定理/ →_→ 學習筆記

題意：

　　人自出生起就有體力，情感和智力三個生理周期，分別為23，28和33天。一個周期內有一天為峰值，在這一天，人在對應的方面（體力，情感或智力）表現最好。通常這三個周期的峰值不會是同一天。現在給出三個日期，分別對應於體力，情感，智力出現峰值的日期。然后再給出一個起始日期，要求從這一天開始，算出最少再過多少天后三個峰值同時出現。

分析：

　　首先我們要知道，任意兩個峰值之間一定相距整數倍的周期。假設一年的第N天達到峰值，則下次達到峰值的時間為${N+Tk}$(${T}$是周期，${k}$是任意正整數)。所以，三個峰值同時出現的那一天${(S)}$應滿足$${S = N_1 + T_1*k_1 = N_2 + T_2*k_2 = N_3 + T_3*k_3}$$

　　${N1,N2,N3}$分別為為體力，情感，智力出現峰值的日期， ${T1，T2,T3}$分別為體力，情感，智力周期。我們需要求出${k1,k2,k3}$三個非負整數使上面的等式成立。

　　想直接求出${k1,k2,k3}$貌似很難，但是我們的目的是求出${S}$，可以考慮從結果逆推。根據上面的等式，${S}$滿足三個要求：除以${T_1}$余數為${N_1}$，除以${T_2}$余數為${N_2}$，除以${T_3}$余數為${N_3}$。這樣我們就把問題轉化為求一個最小數，該數除以${T_1}$余${N_1}$，除以${T_2}$余${N_2}$，除以${T_3}$余${N_3}$。這就是著名的中國剩余定理，我們的老祖宗在幾千年前已經對這個問題想出了一個精妙的解法。依據此解法的算法，時間復雜度可達到${O(1)}$。

中國剩余定理

　　在《孫子算經》中有這樣一個問題：“今有物不知其數，三三數之剩二（除以3余2），五五數之剩三（除以5余3），七七數之剩二（除以7余2），問物幾何？”這個問題稱為“孫子問題”，該問題的一般解法國際上稱為“中國剩余定理”。具體解法分三步：

1. 找出三個數：從3和5的公倍數中找出被7除余1的最小數15，從3和7的公倍數中找出被5除余1 的最小數21，最后從5和7的公倍數中找出除3余1的最小數70。
2. 用15乘以2（2為最終結果除以7的余數），用21乘以3（3為最終結果除以5的余數），同理，用70乘以2（2為最終結果除以3的余數），然后把三個乘積相加${15*2+21*3+70*2}$得到和233。
3. 用233除以3，5，7三個數的最小公倍數105，得到余數23，即${ 233\%105=23 }$。這個余數23就是符合條件的最小數。

　　就這么簡單。我們在感嘆神奇的同時不禁想知道古人是如何想到這個方法的，有什么基本的數學依據嗎？

　　我們將“孫子問題”拆分成幾個簡單的小問題，從零開始，試圖揣測古人是如何推導出這個解法的。

　　首先，我們假設${n_1}$是滿足除以3余2的一個數，比如2，5，8等等，也就是滿足${3*k+2（k>=0）}$的一個任意數。同樣，我們假設${n_2}$是滿足除以5余3的一個數，${n_3}$是滿足除以7余2的一個數。

　　有了前面的假設，我們先從${n_1}$這個角度出發，已知${n_1}$滿足除以3余2，能不能使得${n_1+n_2}$的和仍然滿足除以3余2？進而使得${n_1+n_2+n_3}$的和仍然滿足除以3余2？

　　這就牽涉到一個最基本數學定理，如果有${ a \% b=c }$，則有${ (a+k*b) \% b=c(k為非零整數) }$，換句話說，如果一個除法運算的余數為${c}$，那么被除數與${k}$倍的除數相加（或相減）的和（差）再與除數相除，余數不變。這個是很好證明的。

　　以此定理為依據，如果${n_2}$是3的倍數，${n_1+n_2}$就依然滿足除以3余2。同理，如果${n_3}$也是3的倍數，那么${n_1+n_2+n_3}$的和就滿足除以3余2。這是從${n_1}$的角度考慮的，再從${n_2}$，${n_3}$的角度出發，我們可推導出以下三點：

1. 為使${n_1+n_2+n_3}$的和滿足除以3余2，${n_2}$和${n_3}$必須是3的倍數。
2. 為使${n_1+n_2+n_3}$的和滿足除以5余3，${n_1}$和${n_3}$必須是5的倍數。
3. 為使${n_1+n_2+n_3}$的和滿足除以7余2，${n_1}$和${n_2}$必須是7的倍數。

　　因此，為使${n_1+n_2+n_3}$的和作為“孫子問題”的一個最終解，需滿足：

1. ${n_1}$除以3余2，且是5和7的公倍數。
2. ${n_2}$除以5余3，且是3和7的公倍數。
3. ${n_3}$除以7余2，且是3和5的公倍數。

　　所以，孫子問題解法的本質是從5和7的公倍數中找一個除以3余2的數${n_1}$，從3和7的公倍數中找一個除以5余3的數${n_2}$，從3和5的公倍數中找一個除以7余2的數${n_3}$，再將三個數相加得到解。在求${n_1}$，${n_2}$，${n_3}$時又用了一個小技巧，以${n_1}$為例，並非從5和7的公倍數中直接找一個除以3余2的數，而是先找一個除以3余1的數，再乘以2。也就是先求出5和7的公倍數模3下的逆元，再用逆元去乘余數。

　　這里又有一個數學公式，如果${a \% b=c}$，那么${(a*k) \% b=a \% b+a \% b+…+a \% b=c+c+…+c=k*c(k>0)}$,也就是說，如果一個除法的余數為${c}$，那么被除數的${k}$倍與除數相除的余數為${k*c}$。展開式中已證明。

　　最后，我們還要清楚一點，${n_1+n_2+n_3}$只是問題的一個解，並不是最小的解。如何得到最小解？我們只需要從中最大限度的減掉掉3，5，7的公倍數105即可。道理就是前面講過的定理“如果${a \%b=c}$，則有${(a-k*b) \% b=c}$”。所以${（n_1+n_2+n_3）\% 105}$就是最終的最小解。

　　這樣一來就得到了中國剩余定理的公式：