原文傳送：https://www.luogu.com.cn/blog/1239004072Angel/post-shuo-xue-qiu-xie-yi-lei-fang-cheng-di-fang-fa
不推薦只看原文進行學習。
裴蜀定理 （ax+by的最小正值還能整除a,b， 該最小正值為gcd(a,b)）。
方程ax+by=c （a,b,c為整數）有整數解的充要條件為gcd(a,b) | c 原博客只證明了充分性，這里證明必要性：
若方程有整數解x1,y1，則c=ax1+by1。因為ax1+by1能被 gcd(a,b)整除，則c必然能被gcd（a,b）整除，否則方程無解。（一個方程變形罷了）
擴展歐幾里得算法：
總的來說，擴展歐幾里得用來求不定方程ax+by=c的整數解或線性同余方程ax≡c mod b。利用歐幾里得算法框架遞歸到b=0后返回得到答案。
推到a′x+b′y=b′x'+(a′modb′)y' ① 時（注意等號兩邊的a'是同一個數（b'同理），但x和x'不是同一個數（y和y'同理），原博客沒有體現出來），可令a''=b',b''=a′modb′，那么方程能像這樣再一直等於下去，直到 某個b'...' （這里省略號是若干'的意思）為0 （a,b的變化就是歐幾里得算法的過程），那么此時方程為a'...' x = gcd（a'...',0）=a'...'，得到x'...'=1，y'...'=任意整數 的解。為了方便，可以取y'...'=0。加上 下文已知， 后面的方程的解可推出前面方程的解，那么一開始的方程就解出來了。
一個更清楚的口胡解釋：方程a′x+b′y=gcd(a',b')和b′x'+(a′modb′)y'=gcd(b′,a′modb′) 都有解（裴蜀定理）（也許用表示聯立的大括號表示更直白），同時 gcd(a',b')=gcd(b′,a′modb′) 。解出方程b′x'+(a′modb′)y'=gcd(b′,a′modb′) 后，方程a′x+b′y=gcd(a',b')=gcd(b′,a′modb′)=b′x'+(a′modb′)y' （此時x' 、y‘ 確定，b′x'+(a′modb′)y'為一個定值），這時方程最右邊可變形為：a′y’+b′(x‘−b′/a′ * y’)，即a′x+b′y=a′y’+b′(x‘−b′/a′ * y’)，這里面a',b',x',y'都已知，那么取x=y',y=x‘− b′/a′ * y’就是原方程的一個解。這時可以知道，要求當前不定方程ax+by=gcd(a,b)的解，可看它對應的下一個方程bx'+(a%b)y'=gcd(b,a%b)的解，而這”下一個方程“的解，又可以看它的下一個方程即“下下個方程‘’…直到最后看的方程的第二個系數為零，得解，再按順序返回到第一個方程，就得到了答案。（遞歸的依據就是gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，故叫擴展歐幾里得，還能順便求出最大公因數）
對於方程ax+by=c (gcd(a,b)|c) 設k=c/gcd(a,b) 求出ax+by=gcd(a,b)的解x,y后將x，y都*k 即為ax+by=c 的一組特解。
代碼：
1 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 2 //調用函數完成后傳址&x,&y的變量的值就為關於當前函數a,b的值的ax+by=gcd(a,b)的解（x,y） 3 { 4 if(!b) 5 { 6 x=1;y=0; 7 return a; 8 } 9 int g=exgcd(b,a%b,y,x);//反着傳址，省去后文交換x,y的值 10 y-=a/b*x; 11 return g; 12 } 13 14 int main()//求解不定方程ax+by=c 15 { 16 int a=read(),b=read(),c=read(),x,y; 17 int g=exgcd(a,b,x,y),e=c%g;//按址傳遞形參。 18 //不寫按址傳遞形參的話，可以寫結構體或全局變量 19 if(e)//無解 20 { 21 cout<<"NONE"; 22 return 0; 23 } 24 x*=c/g;y*=c/g;//不要忘了c不一定是gcd(a,b) 25 cout<<x<<endl<<y; 26 return 0; 27 }
上面討論的情況只是a,b,c都大於0的情況。當a,b,c有小於0的情況時，特判一下：若是a或b小於0，則完全可以把負號去掉，最后再給x或y變下號就好；若是c小於0，那么c/g小於0，並不需要做什么多余操作；若a，b小於0，可等號兩邊都提出一個-1來，轉化成c小於0的情況；若a,b,c都小於0，則可等號兩邊都提出一個-1來，轉化成a，b，c大於0都情況。第一種情況相當於換元，故x或y最后要額外處理，后兩種情況是方程的變形，不會改變解。
也可以不用這么麻煩。若會小於0，算法向下遞歸的正確性不變，只是遞歸到b=0時，a可能為負值，此時2種處理：
1、算法返回a的絕對值，滿足exgcd返回值仍為gcd(a,b)，令x= a<0 ?-1 :1 （因為gcd一定是非負的）
2、令x=1，算法返回a，exgcd返回值（設為g）的絕對值才是gcd，且此時x，y是滿足ax+by=g的一組解（ax+by=-gcd一樣有解，那么也可憑此遞歸下去，因為能遞歸下一層的依據就是構造了兩個等號右邊一樣（不管是gcd還是-gcd），左邊系數有關系、可變形為同樣形式的方程，這樣求出一個方程的解，另一個就可根據形式寫出解）。
求出不定方程ax+by=c (a,b>0)的一組特解x0,y0后，他的所有解都可以表示為：x=x0+k*（b/gcd(a,b)）,y=y0-k*(a/gcd(a,b))，k為整數。對於a,b有小於0的情況，根據上文來轉化為a，b大於0的情況，最后決定是否對x，y變號。
簡單證明：不定方程ax+by=c (a,b>0)的解相對於x0,y0都可以表示成x=x0+u,y=y0+v的形式，且u和v異號（因為a，b>0）。設d=a,b的最小公倍數，則d=a*b / gcd(a,b) 。
考慮x0緩慢增加（減少同理）以找到新的解，發現只有ax增加的量w為d的倍數時，by才能沒有在b、y都為整數的情況下抵消ax的增加量（w一定為a的倍數，否則x不為整數，w若不為b的倍數，則y不為整數。故若要求解為整數（不定方程的要求），w必為a，b的公倍數，即為d的倍數，w=kd，同時也說明相對於x0，y0的ax的變化量不為a,b的公倍數的解x，y是不存在的）ax變化了kd（增加還是減少要看k的符號）=k* a*b / gcd(a,b)，則x變化了k* b/gcd(a,b)，by要向反方向變化kd ，得y變化了 -k * a/gcd(a,b) 。得證x=x0+k*（b/gcd(a,b)）,y=y0-k*(a/gcd(a,b))一定還是原方程的解
時間復雜度：與歐幾里得算法同級，上限都為logn，隨機數據下會更快。
簡單證明：考慮a，b，a%b，b%(a%b)。a%b一定<b，猜想復雜度logn的話，考慮b%(a%b)與b/2的大小關系，而這又與a%b有關（因為b%(a%b) < a%b）。因為關鍵節點就是b/2，想到分兩種情況：
a%b> b/2，則b%(a%b)=b- a%b < b/2；
a%b< b/2，則b%(a%b)<a%b< b/2；
發現gcd或exgcd函數每遞歸兩層，函數的第二參數的規模就減少至少一半，故復雜度上限級別為log b。
例題：洛谷P2421 [NOI2002] 荒島野人 https://www.luogu.com.cn/problem/P2421
注意當ax+by=c的(a,b)=1時，通解x=x0+k*b的形式才成立，否則(a,b)不一定為1時通解應為標准形式x=x0+k*b/gcd(a,b)，不要忘了一般情況下的通解公式的后部是有除以gcd的（要找全解，ax就要不斷變化a,b最小公倍數的量（a,b才是常數），x就變化b/gcd(a,b)的量）。y同理。
還是容易在做完exgcd后忘記給解乘c/gcd(a,b)，別忘了做完exgcd求出的是方程ax+by=gcd(a,b)的解，是不是ax+by=c的解還要再詳看（有可能還無解呢）。
所謂的“想當然”最好自證一下再用。相似的概念並行思考時容易混淆，注意區分。
注意：若想防止溢出，exgcd中不能簡單地對x,y模b/d,a/d。通解公式中x，y一個變化了，另一個也會變化。
上文‘%’號未經特殊說明的話都指取余運算（畢竟我的語言環境是c++）。
中國剩余定理CRT（本文該模塊中bi是同余號右邊的數，ai是模數，ti是mi在模ai下的逆元）：
總的來說，用於求解模數互質系數為1的線性同余方程組。利用各模數與相應逆元構造了一個某模數下對應項結果為bi，其他項全是0的可行解。
原文的“數學歸納”原來也是假設最后的解有多個再相減證明公倍數整除差值。
證明及詳解（更清楚明確，還有個明確的性質）：孫子定理 https://baike.baidu.com/item/%E5%AD%99%E5%AD%90%E5%AE%9A%E7%90%86/2841597?fromtitle=%E4%B8%AD%E5%9B%BD%E5%89%A9%E4%BD%99%E5%AE%9A%E7%90%86&fromid=11200132&fr=aladdin
對於： 
能在biti處模ai的原因：不管怎樣，mi必須要是除了自己（ai）的其他所有模數的乘積，以保證在被其他模數取模時結果為0，只剩下那個模數對應的項，才能保證正確性。而biti在模ai時才會看到，在最后答案中模ai的話，不會影響正確性，同時減少數值范圍（但不能對mi取模）
代碼很簡朴，先求出模數積（O（n）），依次求出所有mi （O（n）），ti （O（nlogn）），最后求出答案。總時間復雜度：O（nlogn）
若方程組其中的同余方程的x前有系數，可用擴展歐幾里得解出該方程，轉化為系數為1的形式，最后總時間復雜度不變。
擴展中國剩余定理（模數不一定兩兩互質時求解同余方程組）：
用於求解模數不一定互質的線性同余方程組。通過聯立逐步合並方程組至一個方程。
為方便理解中國剩余定理，有一個引理：對於兩個互質的正整數模數 n, m，給出兩個整數 a,b滿足 0≤a<n,0≤b<m，則在[0,nm)中存在且僅存在一個 同余方程組{ x modn =a,x mod m=b }的解 。
證明很容易理解，n,m互質時同余方程組一定有多個解（由中國剩余定理百度百科可知）。對於同余方程組的兩個解x1,x2。作差得y ，y可同時被n 、m整除，即y為n，m的公倍數，那么在x1,x2他們的差距一定是n，m最小公倍數的倍數，x1,x2不相等的情況下最少也差lcm（n,m）（n，m互質的情況下lcm（n,m）即為nm），此時引理結論可得證。
若模數不一定互質（對應擴展中國剩余定理），在方程組有解時（有解的條件下文再討論），也是會有多個解，對於這時的解 x1,x2，差y可同時被n 、m整除，仍為n，m的公倍數，x1,x2不相等的情況下最小差距還是n，m的最小公倍數。最后可知模數不一定互質時，若有解，則[0,lcm(n,m))中只會存在一個解 。
由於 ai 之間可能不互質，故我們可能找不到某個 mi 在模 ai 意義下的逆元，就無法用CRT的公式求解。
算法核心：變形等式，合並方程：
兩個方程組是等價的，對第二個方程組找條件性質/變形 求解，即為原方程組的解。
又等價於：
方程通解可由上文引理印證，也知lcm是通解的最小變化量。其實上圖第一行變形的等號右邊應該是b2-b1，代碼中寫的也是b2-b1。exgcd中的參數可以直接傳a1和a2（不用傳-a2），這樣得到的k1，k2乘上(b2-b1)/exgcd 后，k1是正確值，k2是正確值的相反數，但要求出x，只需求出k1和k2中的一個正確值就好。
故對於 n 個方程，我們順次合並兩個方程即可。在合並過程中發現一處無解，那么方程組就無解。
時間復雜度：nlogn
啟發思路：
對於有很多個方程的方程組，可以划分部分，在各個部分里求出滿足當前部分的所有方程的解，最后再求同時滿足各部分的解的解，即為總方程組的解（分治再合並）；
以后在整數意義下有兩個未知數的方程都可解了。
雜想：擴展CRT會取代中國剩余定理嗎？在OI中，擴展CRT更泛用，運算時的數值范圍大頭在求lcm上，比普通CRT不需要實現判斷模數兩兩互質、更不易溢出數據類型。但要明白，能逐個合並方程的前提是我們用計算機寫代碼，讓計算機做這些重復的活，而中國剩余定理直接給出一個最后答案的表達式，適合人工計算，這也是日常中現階段數學和信息的一個區別吧。
例題：P4777 【模板】擴展中國剩余定理（EXCRT）https://www.luogu.com.cn/problem/P4777
AC代碼：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<cmath> 5 6 #define ll long long 7 #define ull unsigned long long 8 #define min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a)) 9 #define max(a,b) ((a)>(b)>(a):(b)) 10 #define swap(a,b) ((a)^=(b),(b)^=(a),(a)^=(b)) 11 12 using namespace std; 13 14 const int N=1e5+5; 15 16 ll n,ai[N],bi[N],a1,b1,m,k1,k2; 17 18 inline ll read()//int N+ 19 { 20 ll x=0; 21 char ch=getchar(); 22 while(!isdigit(ch)) ch=getchar(); 23 while(isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar(); 24 return x; 25 } 26 27 ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) 28 { 29 if(!b) 30 { 31 x=1;y=0;//此題a,b都非負 32 return a; 33 } 34 ll d=exgcd(b,a%b,y,x); 35 y-=a/b*x; 36 return d; 37 } 38 39 inline ll mul(ll a,ll b,ll mod)//快速乘，防溢出 40 { 41 ll ret=0; 42 bool f=0; 43 if(b<0) 44 { 45 f=1; 46 b=-b; 47 } 48 while(b) 49 { 50 if(b&1) 51 ret=(ret+a)%mod; 52 b>>=1; 53 a=(a+a)%mod; 54 } 55 return f?-ret:ret; 56 } 57 58 int main() 59 { 60 n=read(); 61 for(int i=1;i<=n;++i) 62 ai[i]=read(),bi[i]=read(); 63 m=a1=ai[1],b1=bi[1]; 64 ll c,d; 65 for(int i=2;i<=n;++i)//EXCRT算法核心過程 66 { 67 c=bi[i]-b1; 68 d=exgcd(a1,ai[i],k1,k2); 69 m*=ai[i]/d; 70 b1=(mul(mul(k1,c/d,m),a1,m)+b1)%m;//(k1*(c/d)*a1+b1)%m 71 a1=m; 72 } 73 if(b1<0) 74 b1+=m;//答案要>=0 75 printf("%lld",b1); 76 return 0; 77 }
思路很簡單，對溢出的處理廢了點思考時間。說實話該代碼沒有對exgcd中做防溢出處理，luogu的數據還是弱了。除了高精度（極限情況下數值范圍是個2*18*log2 1018 =2176位數，）有正確性更優的算法：https://www.luogu.com.cn/blog/user31435/solution-p4777
思考過程想到的性質：
lcm(a,b) >=lcm(b,a%b) 當a<b時等號成立
若想防止溢出，exgcd中不能簡單地對x,y模b/d,a/d。通解公式中x，y一個變化了，另一個也會變化。
雜項：
兩算法都不要忘判斷無解的情況。擴展歐幾里得初步求出的解的是ax+by=gcd(a,b)的解，不代表ax+by=c一定有解。
做數據范圍很大的乘法時可能要注意模不同數時不同的應用環境，例如在CRT解的公式的最終結果是對M取模，除了前文提到的，計算時不能隨便對某個模數處處取模。很多式子后面沒有注明“模的意義下”，不要一看到大數計算就想當然要取模，會礙到/誤導 思考分析。
為什么在取模意義下的乘法式子中無論以任意順序取模，結果都是正確且唯一的：設模數為m，一個數/式子的結果都能分解成km+r的形式，由分配律拆開后，km的那部分無論乘什么，結果在模意義下都是0，那么原式的結果就等於給那個數/式子取模后的新式子的結果。
同余與等式常常轉換。