二項式定理學習筆記（詳解）

二項式定理好難啊...學了好久 \(QWQ\)

這篇博客寫的有點雜，主要講證明，僅供娛樂？

二項式定理的常見形式

首先我們看看這個常見的令人頭疼的式子：

\[(x+1)^n=\sum_{i=0}^{n} C(n,i) ~ x^i \]

這個式子為什么是對的呢？

我們考慮將左邊的式子寫成完全形式：

\[(x+1)(x+1)···(x+1) \]

那么我們發現其實可以每次從這 \(n\) 個 \((x+1)\) 中選出一個 \(x\) 或者一個 \(1\) ，然后將 n 個選出來的數字相乘累加進 \(ANS\)

那么我們考慮從 \(n\) 個 $$(x+1)$$ 中選出 \(i\) 個 \(x\) 的情況有多少種呢

這其實就是組合數中的 \(C(n,i)\)，於是乎我們發現原來的式子是正確的

然后講講二項式定理的一個應用：

我們考慮從 \(n\) 個物品中選出選出 \(t\) 個物品，那么有多少種選擇的方案呢？

既然是二項式定理的應用，那么怎么才能將二項式定理套進去呢？

先別多想，我們考慮用 \((x^0+x^1)\) 表示某樣物品選或者不選（這里 \(0\) 次項就是不選，而 \(1\) 次項則是選），這兩者相互獨立

那么我們可以根據所有物品兩兩獨立將它們的選擇方案乘起來，就是 \((x^0+x^1)^n\)

考慮為什么可以這么乘？不用想那么多感性理解即可，不理解的話看到下面也能懂的

那么我們考慮一下之前的問題：選出 \(t\) 個物品

那么這里我們將 \(n\) 個 \((x^0+x^1)\) 相乘之后 \(x^t\) 的系數其實就是方案數了，因為在這里 \(x^t\) 只可能來自 \(t\) 個不同的 \((x^0+x^1)\)中的 \(x^1\)， 也就是說它的含義就是我們在 \(n\) 個\((x^0+x^1)\)中選擇 \(t\) 個 \(x^1\) 然后每次選出一種方案就令 \(x^t\) 前的系數加一

然后我們把 \(x^0\) 等價成 \(1\)，也就是二項式定理的常見形式了

小插曲

我們定義組合數 \(C(n,m)\) 為 \(\frac{n(n-1)(n-2)···(n-m+1)}{m!}\) ，這樣定義對於下面的證明更有幫助

然后我們再考慮將原式的 求和函數的 終止條件換一下：

\[(x+1)^n=\sum_{i=0}^{\infty} C(n,i) x^i \]

這時候我們可以知道這個式子和之前是等價的，因為 \(i\) 大於 \(n\) 的時候 \(C(n,i)\) 是等於 \(0\) 的

至於為什么要這樣表示看到下面你就知道了

指數為負的二項式定理

然后我們考慮一下 \((x+1)\) 的指數推廣到 負數 的情況

這個時候其實也有：

\[(x+1)^{-n}=\sum_{i=0}^{\infty} C(-n,i) ~ x^i=\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i~C(n+i-1,i)~x^i \]

這時候你可能會非常的驚訝... 組合數還能有負的？！

遺憾的告訴你（什么鬼），組合數可以有負的，因為這里的組合數使按之前小插曲里面的定義來的

那么我們考慮怎樣轉移到最右邊的式子：

\[C(-n,m)=\frac{(-n)(-n-1)(-n-2)···(-n-m+1)}{m!} \]

然后我們吧上面的式子里面所有項取反，也就是將他們的符號提取出來，就成了：

\[C(-n,m)=(-1)^{(-n)-(-n-m+1)+1}\frac{n(n+1)(n+2)···(n+m-1)}{m!} \]

\[= (-1)^{m}\frac{n(n+1)(n+2)···(n+m-1)}{m!} \]

\[= (-1)^{m} C(n+m-1,m) \]

就是這樣（或許你已經看到過上面的式子了）

把上面的式子再寫一遍就是： \((x+1)^{-n}=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^i C_{n+i-1}^i~x^i\)

當加號變為減號

（在這里我們略去 n 為負數的情況）

首先的話，我們考慮將上面式子中的 \(x\) 取負，那么原式就變成了：

\[(-x+1)^n=\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i~ C(n,i)~x^i \]

這樣寫不好看，換種寫法

\[(1-x)^n=\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i~ C(n,i)~x^i \]

這個式子...（相信大家可能看到過的吧）

這里的話后面的式子其實就是把 \(x\) 的負號提了出來，沒什么特別的

但是你有沒有感覺這個式子有點眼熟？

沒錯啊，這和 指數為負的二項式定理 中長得有點像的，組合數前面都帶着個正負號

於是我們考慮一下吧這里的 n 也取負呢？

那么原式就變成了：

\[(1-x)^{-n} =\sum_{i=0}^{\infty} C(n+i-1,i)~x^i \]

也就是說兩個正負號抵消掉了...\(QWQ\)

這個式子其實是非常有用的，它會在你學生成函數的時候派上大用場

（至於生成函數嘛，登博主學完之后還有時間的話可能就會寫篇博客介紹一下）

二項式定理的一般形式

其實上面講了這么多都是二項式定理的特殊形式（但其實都是比較常見+實用的）

於是下面說說它的一般形式：

\[(x+y)^n=\sum_{i=0}^{n} C(n,i) a^i·b^{n-i} \]

這個東西可以理解為有 n 堆物品，每堆里面有 x 和 y ，每堆只能選一個，要求選擇的所有方案之和

具體證明就毋須多言了，上面已經證了一大堆了

關於廣義二項式定理

其實廣義二項式定理就是上面的那個式子，我們只要將指數 n 的定義域改成實數就好了

也就是說，廣義二項式定理對於實數也成立，也就是：

\[(x+y)^α=\sum_{i=0}^{α} C(α,i) a^i·b^{α-i} \]

而關於 \(C(α,i)\) 的值通過小插曲中組合數的定義代就好了

論二項式定理與組合數的關♂系

我們看到上面的二項式定理中都出現了組合數，那么他們兩者之間有什么內在聯系呢？或者說我們可以通過二項式定理得出組合數的一些性質么？

答案當然是肯定的啦！

第一種情況

我們考慮吧二項式定理的公式中的 \(x\) \(y\) 都變成 \(1\)，那么我們會發現下面這個式子：

\[(1+1)^n=\sum_{i=0}^{n} C_{n}^{i} \]

這能說明什么呢？很明顯啊！

我們考慮前面其實就是 2 的 n 次冪，后面就是 n 個物品里面選出 1~n 個的方案數之和，那么由二項式定理可以得知他們兩者是相等的

從另一個角度出發， n 個物品里面任意選擇的方案數等於 \(\sum_{i=0}^nC_{n}^i\)，同時也等於 \(2^n\)

前面的式子不需要多解釋，考慮后面的式子就是每個物品有選或者不選兩個選擇，那么總方案數等於所有物品選擇的方案數的乘積，這樣一來兩者的相等關系也就非常明顯了

那么我們再考慮一下楊輝三角，楊輝三角的第 i 行 第 j 列對應着 \(C_i^j\)

上面的相等關系也就說明了楊輝三角的第 i 行所有數之和等於 \(2^i\)

第二種情況

我們再考慮把 x 變成 1， y 變成 0，這兩者會產生什么樣的反應呢？我們看下面的式子：

\[(1-1)^n=\sum_{i=0}^{n} (-1)^i~C_{n}^{i} \]

（注意，不要認為等式左邊恆等於 0 ！ 我們默認 \(x^0\) 為 1 ，對於任意實數！ 同時這里也可以倒過來證明 0 的 0 次冪為 1，算是吧？）

那么我們發現除去 \(n = 0\) 的情況，\(C_n^i\) 的偶數項之和 減去 \(C_n^i\) 的奇數項之和 等於 0 ！

換句話說， \(C_n^i\) 的偶數項之和 等於 \(C_n^i\) 的奇數項之和 ！

這里不知道如何解釋了，只能說對於 n 為奇數的情況考慮組合數的對稱性（即 \(C_n^i=C_n^{n-i}\)）

然后對於 n 為偶數的情況考慮 掐頭去尾，每個偶數項都對應上一行的兩個相鄰元素之和，不相交並且取遍了上一行的所有元素，而奇數項同理，於是兩者相等

那么這里上一張圖你肯定就懂了(自己感受一下)

考慮一下楊輝三角，也就是說楊輝三角每一行的 偶數列對應的項之和 等於 **奇數列對應的項之和 **(由上圖也可以看出來)

但是別忘了考慮特殊情況，我們剛剛說過 \(n=0\) 除外

但其實考慮 n=0 的情況也簡單，就是當 \(n=0\) 時組合數只有一項且為 1 ，然后我們把原來的式子倒過來表達：

\[\sum_{i=0}^{n} (-1)^i~C_{n}^{i}=[n==0]=\epsilon(n) \]

其實 \(\epsilon\) 就是單位元函數

總結

二項式定理很有趣，但是看着上面的內容貌似沒什么用，但等你學到深處就會發現經常會看到它的身影，到那時別忘了再翻開這篇博客，或許你會有新的收獲~

Bye~Bye~