PS：本文仅供作者本人记录学习所用，所述的证明大多是极其不严谨的
内含大量显然，证明过程中只用了一些初等的几何知识，若想了解有关等周定理的严谨证明，请参阅：Isoperimetric inequality - Wikipedia（涉及高数和积分知识）
为了方便描述，我们约定：
- 本文所提到的多边形均为简单多边形（复杂多边形我完全不了解）；
- 本文所提到的多边形的讨论范围统一限定在：与其边数相等、周长相等的多边形所构成的集合；
- 周长用 \(C\) 来表示；半周长用 \(P\) 来表示；面积用 \(S\) 来表示；边用小写字母 \(a,b,c,d\dots\) 表示，顶点和角用大写字母 \(A,B,C,D\dots\) 表示，皆从左上角开始，顺时针方向依次命名。
一、前言
起因是昨天组织的 \(21\) 级新生第一轮考核，里面有一道签到题是这样的：
简述一下题意就是：周长为一定值的封闭曲线所能围成的区域的最大面积是多少。
当初我自己做这道题的时候，想都没想就觉得一定是在围成圆时面积最大何况题面还提示了你要用圆周率，然后就理所当然地 \(AC\) 了；但在今年的新生考核中，却发现很多新生都倒在了这一题，在和队友们商量着写题解的事情时我突然意识到这个结论我完全不会证，和队友们商量了一下发现大伙也都不会一个能打的都没有，然后就有了想证明一下这个结论的想法，于是便有了本文。
二、证明思路
我们要证的是：
周长为定值的封闭曲线围成圆形时面积最大。（等周定理）
要初步地证明这个定理，我一开始的思路是，能否想办法证明以下两个命题为真：
命题1：正 \(n+1\) 边形的面积大于正 \(n\) 边形的面积；
命题2：多边形中，正多边形的面积最大。
毕竟我们知道圆形其实可以等价为边数为 \(\infty\) 的正多边形，如果以上两个命题为真，则可粗略地认为得证了。（这样显然是极其不严谨的，但请原谅作者水平有限，只能想到这么多）
那么首先命题1显然为真且很好证明，据我同学所说他们高中老师就给他们证过了，这里就不多加赘述了。我其实不太会证
难证的是命题2，我的想法是先从三角形、四边形、五边形这种边数较少、看起来比较好证的多边形开始证起，找到它们证明时的共通点，最后利用数学归纳法推出这一猜想的正确性，先试试行不行。
一些前置引理
引理1：若存在一个面积最大的多边形，则它一定不是凹多边形。
证明：对于一个凹多边形，我们肯定可以把他的某个“凹下去”的部分翻折一下，使其周长不变，但面积更大，如下图所示：
凹多边形ABDC的面积显然小于凸多边形ABD'C的面积由于引理1的存在，我们只需讨论凸多边形即可，因此下文所提到的的多边形均为简单凸多边形。
引理2：若一个多边形存在不相等的边，则至少有一对是邻边。
证明：反证法。假设一个多边形存在不相等的边，且这些不相等的边都不是邻边，那么每条边都和它的邻边相等，则这个多边形的每条边都相等，即不存在不相等的边，这与假设矛盾，故得证。
引理3：若存在一个面积最大的多边形，则它的各边长一定相等。
证明：同样是反证法。假设一个多边形面积最大，为 \(S\)，且存在不相等的边，由引理2可知，至少有一对不相等的边是邻边，设为 \(a,b\)。
那么我们可以连接 \(AC\)，使 \(ABC\) 构成一个三角形，根据海伦公式和基本不等式，我们可以知道，当 \(a=b\) 时，\(S_{ABC}\) 为最大（若不太理解可以看下方命题3的证明）。
因此我们可以在保持 \(a\) 与 \(b\) 之和不变的前提下调整点 \(B\) 的位置（此时点 \(B\) 的轨迹是一个椭圆），使得 \(a=b\)。
设调整之后的新面积为 \(S'\)，显然有 \(S'>S\)，这与假设矛盾，故得证；换言之，如果某个多边形存在不相等的边，则我们一定可以通过上述的调整，使得它的面积变大，所以存在不相等的边的多边形一定不是面积最大的，即面积最大的多边形一定是各边都相等的。
调整一下变为：
其实还有一个重要的大前提要证，即证明给定周长的面积最大的多边形总是存在，但这个就太难证了，完全没有思路，听说可以用数分的方法来证，咱们就默认吧，肯定是存在的。所以说本文不够严谨啊啊啊啊
三角形
命题3：三角形中，正三角形面积最大。
根据海伦公式：\(\displaystyle S=\sqrt{P*(P-a)*(P-b)*(P-c)}\)，\(C\) 为定值，则 \(P\) 为定值，则 \((P-a)+(P-b)+(P-c)\) 为定值。
和为定值，则由基本不等式可得：当且仅当 \(P-a=P-b=P-c\) ，即 \(a=b=c\) 时，\((P-a)*(P-b)*(P-c)\) 取到最大值，此时 \(S\) 最大，因此，命题3为真。
四边形
命题4：四边形中，正四边形面积最大。
由引理3可知，面积最大的四边形一定是个菱形，而对于任意的菱形 \(ABCD\)，连接对角线 \(AC\)，把菱形分为 \(ABC\) 和 \(ADC\) 两个三角形，有：$$\displaystyle S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ADC}=\frac 12ab\sin B+\frac 12cd\sin D=\frac 12ab(\sin B+\sin D)$$显然当 \(\sin B=\sin D=1\)，即 \(B=D=90°\) 时取到最大值，此时 \(ABCD\) 是一个正四边形，因此，命题4为真。
五边形
命题5：五边形中，正五边形面积最大。
同样地，由引理3可知，面积最大的五边形的五条边一定相等，但五条边相等的五边形一定是正五边形吗？显然不一定：
如图，\(\triangle ABC\) 是一个边长为 \(2\) 的等边三角形，\(ABCDE\) 是一个边长都为 \(2\) 的五边形，但它并不是正五边形，接下来怎么证呢？
然后我就不会证了，欸嘿😋。
三、碎碎念
卡在五边形这里以后，我去百度了很多有关等周定理的证明，发现最早尝试证明等周定理的人是公元前五世纪的古希腊人西奥多罗斯。他的证明思路和我是一样的，先证周长一定的多边形中，正多边形面积最大（即命题2），再证正 \(n+1\) 边形比正 \(n\) 边形面积大（即命题1），最后类推出圆的面积最大这一结论。但他证明命题2的方法我在网上并没找到，仔细找了半天，才从各种文章里看出字来，全篇都写着四个字是“众所周知”！
于是我琢磨着这是不是一个很好证的东东，就跑去百度了一下，结果发现网上证明命题2的方法都是靠等周定理死锁了，也有人说上文所提到的命题2其实是等周定理的一个推论到底是先有鸡还是先有蛋，中间还涉及到啥克拉美定理（网上有关资料甚少），把我彻底搞麻了。也不知道西奥多罗斯到底是咋证的，还是说传说有误，其实他根本没有证过等周定理？总而言之，如果想按照我一开始的思路来证的话，不仅不够严谨，而且还远没有想象中的那么好证（甚至根本证不出来？），换句话说，我的努力，全 部 木 大。\(okok\)，我宣布，此贴终结😭。
唉，想到自己花了挺多时间来研究，到头来只得到了这么个不上不下的结果，心里未免有些沮丧；但转眼间又想起昨天学弟跟我说的：“大多情况下，写博客写文章都是没啥意义的，主要还是自己写的时候开心，写完之后很爽，那就够了；而如果有人看了你的博客之后，也觉得很爽，给你点了个赞，那你们就完成了一次灵魂的沟通，那就更 \(perfect\) 了”，芜湖，学弟说的太好了，升华主题了属实是。所以虽然最后没证出来，但我个人觉得也还好，起码不会觉得浪费了时间，毕竟我自己在写的时候还是挺开心的，也确实思考了不少并学到了一些新的知识。仔细想想的话，雀食，这样就足够了嗷。
四、补充的知识
这里再贴一些在此过程中了解的一些定理及其证明，以便随时复习，万一哪天就用上了呢。虽然我觉得概率无限接近于零
中文wiki上有关等周定理的初等证明，这里直接上图。懒得抄一遍了
克拉美定理：若存在一个各边长固定、面积最大的多边形，则它一定存在外接圆。
存在外接圆的多边形又叫 cyclic polygon，有些早期的文章里会用到这个说法，但现在很少见了，wiki 上有关外接圆的词条里有提到过。
下面给出一个利用了等周定理的简单易懂的证明：
证明：
假设有两个各边长相等的多边形，一个面积为 \(S_1\)，一个面积为 \(S_2\)，\(S_1\) 存在外接圆，\(S_2\) 不存在外接圆。我们作出 \(S_1\) 的外接圆，假设该圆的面积为 \(S\)、由 \(S_1\) 的各个边作为弦切出来的弓形的面积之和为 \(S_3\)，则有 \(S_1=S-S_3\)；
然后我们对 \(S_2\) 的每一条边都作出一样的弓形（因为\(S_1\) 和 \(S_2\) 各边长相等，所以一定可以做出来），可以得到一个完全包裹住 \(S_2\) 的新曲线，假设这个新曲线所围的面积为 \(S'\)，则有 \(S_2=S'-S_3\)；
而 \(S'\) 的周长和 \(S\) 的周长相等（它们都是由同样的弧形围成的），根据等周定理，有 \(S>S'\)，因此 \(S_1>S_2\)，且此时 \(S\) 是最大的，即 \(S_1\) 也是最大的，得证。
也就是说，如果一个多边形不存在外接圆，则我们在不改变各边长的前提下不停地调整它的顶点位置和各个角度，直至让它变成一个 cyclic polygon，此时它的面积达到最大。这样的调整总是可行的，因为我们前面已经说明默认了面积最大的多边形一定是存在的。
个人感觉克拉美定理跟上面的引理3有点像：前者告诉我们在周长不变的前提下，可以通过调整边长使得多边形面积变大；后者告诉我们在各边长不变的前提下，可以通过调整角度使得多边形面积变大。
在等周定理的帮助下我们证明了克拉美定理，而有了克拉美定理和引理3，我们就可以很轻松地证明命题2为真了。
证明：对于一个周长固定的任意多边形，由引理3可知当它取到最大面积时，它的各边长一定相等；同时又由克拉美定理可知，当它取到最大面积时，它一定存在外接圆，即它的各顶点共圆，这就可以推出它的各个角相等，即取到最大面积时，该多边形一定是个正多边形，得证。
OA=OB=OC=OD=OE，AB=BC=CD=DE=EA，五个三角形全等，五边形的各个角相等。
所以之前看到有人说命题2是等周定理的推论，雀食也有一定道理，有了等周定理，可以证出克拉美定理，继而证出命题2为真。
五、参考资料&&工具
- 中文wiki-等周定理条目
- Isoperimetric inequality - Wikipedia
- 知乎-如何用简单的方法证明「在周长一定时，圆的面积最大」？
- 知乎-克拉美定理怎么证明？
- 百度文库-定边长的多边形面积最大值问题
- 新浪博客-周长给定的五边形以正五边形的面积最大
- 周长一定的n边形为什么正n边形面积最大？等周定理有何应用？什么是最大的小多边形？哔哩哔哩 bilibili
- Maximum Polygon Area (drking.org.uk)
- 绘图工具-GeoGebra
