【学习笔记】Lucas定理

\(Lucas\)定理

$ C_n^m\pmod p\equiv C_{n\mod p}^{m\mod p}*C_{\lfloor n/p\rfloor}^{\lfloor m/p\rfloor}\pmod p $

一句话概括，就是一个组合数可以拆成\(P\)进制下的乘积

这个算法可以处理当\(m,n\)非常大的时候的取模\((\)当然你可以用高精度处理\()\)

需要注意的几点

\(Lucas(x,0,mod)=1\)，直接返回\(1\)即可

注意处理阶乘的数组 \(a[0]=1\)，因为\(0!=1\)

开\(long~long\)

注意处处取模

\(Describtion\)

给定\(n,m,p(1<=n,m,p<=10^5)\)

求\(C_{n+m}^m\ mod\ p\)

保证\(p\)为质数

\(Input\)

第一行一个数\(T(T<=10)\)，表示数据组数

第二行开始共\(T\)行，每行三个数\(n,m,p\)

\(Output\)

共\(T\)行,每行一个整数表示答案

\(Solution\)

就是模板，我又有什么可说的呢

用\(a[i]\)表示\(i\)的阶乘，当然要取模
有个特别注意的点，当且仅当\(gcd(a,p)=1\)且\(p\)是质数时，\(a^{p-1}=1\pmod p\)(费马小定理)成立，所以这个题直接用费马小定理处理逆元即可，如果\(p\)为质数时不一定存在逆元，如果\(a\)比\(p\)大那么有可能\(p|a\)，\(a\)是\(p\)的倍数，这时候两个数不互质，不存在逆元，不能用费马小定理。所以\(a>p\)时格外小心，\(a<p\)时不存在这种情况。
具体细节自己看代码吧

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define maxn 100010
#define ll long long
using namespace std;
ll a[maxn];
int T,n,m,p;
ll quickpower(ll A,int B,int mod)
{
	A%=mod;
	ll ans=1;
	while(B)
	{
		if(B&1)
		ans=(ans*A)%mod;
		A=(A*A)%mod;
		B>>=1;
	}
	return ans%mod;
}
inline int read()
{
	int x=0,f=1; char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
ll CC(ll n,ll m)
{
	/*注意判断*/if(m>n) return 0;
	//注意取模 
	//费马小定理求逆元 
	return ((a[n]*quickpower(a[m],p-2,p))%p*quickpower(a[n-m],p-2,p)%p); 
}
ll Lucas(ll n,ll m)
{
	if(!m) return 1;
	return CC(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p)%p;//注意取模 
}
int main()
{
	T=read();
	while(T--)
	{
		n=read(); m=read(); p=read();
		a[0]=1;//特别注意!!!
		for(int i=1;i<=p;++i) a[i]=(a[i-1]*i)%p;
		printf("%d\n",Lucas(n+m,m));
	}
	return 0;
}