第十講.無關性、基與維數

無關性、基與維數

定義：設\(V\)是一個向量空間，\(v_1, \dots, v_n \in V\)，\(\{v_1, \dots, v_n\}\)是線性無關的\(\Longleftrightarrow\)若\(a_1v_1 + \dots + a_nv_n = 0\)，其中\(a_i \in \mathbb{R}\)，則\(a_1 = \dots = a_n = 0\)

\(\{v_1, \dots, v_n\}\)是\(V\)的一個基（basis）\(\Longleftrightarrow\)（1）\(v_1, \dots, v_n\)線性無關；（2）\(\forall \alpha \in V\)，\(\alpha\)是\(v_1, \dots, v_n\)的線性組合。

我們說\(V\)的維數（dimension）是\(n=\)基中向量個數。記作\(\dim V = n\)

矩陣空間

定義一種新的向量空間\(M\)（矩陣空間）：所有的\(3 \times 3\)矩陣！\(\dim M = 9\)，基為：

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

子空間有：上三角矩陣、對稱陣、對角矩陣。對角矩陣所構成的子空間，維度是\(3\)。可以找一組基：

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

相關性、基與維數的性質

定理 ：若\(V\)是有限維的，則\(V\)的任意兩個基所含向量的個數相等。

證明：由定義3，因為\(V\)是有限維，故存在一個基是有限的，不妨記為\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\}\)，另一個基記為\(S\)。反證法，\(S\)所含向量個數\(>n\)，則\(S\)中可取\(n + 1\)個向量\(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_{n+1}\)。由基的定義，則\(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_{n+1}\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)線性表出。由於\(R(S) < n + 1\)，故\(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_{n+1}\)線性相關。因為基要求線性無關，即任一個有限子集都線性無關，矛盾，故\(S\)所含向量個數\(\leq n\)。再設\(S = \{\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_m\}\)，其中\(m \leq n\)，因為基互相能夠線性表出，因此兩個基等價，所以\(m = n\)

定理：\(\mathbb{R}^n\)中任意\(n + 1\)個向量線性相關

證明：不妨設\(\alpha_1, \dots, \alpha_{n + 1}\)為\(\mathbb{R}^n\)中\(n + 1\)個線性無關列向量，它可以拓展成一組基，與前面定理矛盾！