第十讲.无关性、基与维数

无关性、基与维数

定义：设\(V\)是一个向量空间，\(v_1, \dots, v_n \in V\)，\(\{v_1, \dots, v_n\}\)是线性无关的\(\Longleftrightarrow\)若\(a_1v_1 + \dots + a_nv_n = 0\)，其中\(a_i \in \mathbb{R}\)，则\(a_1 = \dots = a_n = 0\)

\(\{v_1, \dots, v_n\}\)是\(V\)的一个基（basis）\(\Longleftrightarrow\)（1）\(v_1, \dots, v_n\)线性无关；（2）\(\forall \alpha \in V\)，\(\alpha\)是\(v_1, \dots, v_n\)的线性组合。

我们说\(V\)的维数（dimension）是\(n=\)基中向量个数。记作\(\dim V = n\)

矩阵空间

定义一种新的向量空间\(M\)（矩阵空间）：所有的\(3 \times 3\)矩阵！\(\dim M = 9\)，基为：

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

子空间有：上三角矩阵、对称阵、对角矩阵。对角矩阵所构成的子空间，维度是\(3\)。可以找一组基：

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

相关性、基与维数的性质

定理 ：若\(V\)是有限维的，则\(V\)的任意两个基所含向量的个数相等。

证明：由定义3，因为\(V\)是有限维，故存在一个基是有限的，不妨记为\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\}\)，另一个基记为\(S\)。反证法，\(S\)所含向量个数\(>n\)，则\(S\)中可取\(n + 1\)个向量\(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_{n+1}\)。由基的定义，则\(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_{n+1}\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)线性表出。由于\(R(S) < n + 1\)，故\(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_{n+1}\)线性相关。因为基要求线性无关，即任一个有限子集都线性无关，矛盾，故\(S\)所含向量个数\(\leq n\)。再设\(S = \{\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_m\}\)，其中\(m \leq n\)，因为基互相能够线性表出，因此两个基等价，所以\(m = n\)

定理：\(\mathbb{R}^n\)中任意\(n + 1\)个向量线性相关

证明：不妨设\(\alpha_1, \dots, \alpha_{n + 1}\)为\(\mathbb{R}^n\)中\(n + 1\)个线性无关列向量，它可以拓展成一组基，与前面定理矛盾！