淺談微積分以及泰勒展開

淺談微積分以及泰勒展開

前言

這年頭不會微積分干什么都不行啊

一.微積分

微積分其實就只有兩種運算，一種是求導(微分)，另一種是求積分。並且其為互逆運算

導數

導數的定義

導數（Derivative），也叫導函數值。又名微商，是微積分中的重要基礎概念。當函數y=f(x)的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨於0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'(x0)或df(x0)/dx。——百度百科

• 簡而言之，所謂導數所反映的就是一個函數的變化趨勢，其同樣是一個函數。設 \(f'(x)\) 為 \(f(x)\) 的導數，那么 \(f'(x_0)\) 就是 \(f(x)\) 的圖像上過橫坐標為 \(x_0\) 的點的切線的斜率。
• 講的更容易理解一點，我們先拋開所有關於微積分的什么極限啊什么的。僅僅考慮一個問題：什么是變化率？
• 你可能會說：“變化率就是 \(\Delta y\) 和 \(\Delta x\) 的比值。”確實，就是這樣。它反映的是一個變化的趨勢，就是隨着橫坐標 \(x\) 的變化，縱坐標 \(y\) 變化了多少。如果變化率越大，那么相應的，\(y\) 的變化就會越大。
• 而導數的本質就是變化率，只不過將其放在了一個十分微小的范圍內。可以近似地看成圖像在某個點的變化率。
• 那么這里有一個關於導數的悖論：“一個函數的導數所反映的是該函數在每個點時的變化率。”但一個點談何變化？它連 \(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 都沒有。
• 所以，不要把這當做導數的定義，別把導數看成某一點瞬時的變化率，而是看成某一點附近的變化率的最佳近似。

導數的求法

基本初等函數

• 這個很簡單，按照定義來就行了。

• 我們假設一個函數在 \(x_0\) 處產生了一個非常小的增量 \(dx\) ，同時導致了縱坐標的增量 \(df\) ，那么根據定義，其導數即為 \(\frac{df}{dx}\) 。

• 以 \(f(x)=x^2\) 為例：

  \[\begin{aligned} \frac{df}{dx} &=\frac{f(x_0+dx)-f(x_0)}{dx}\\ &=\frac{x_0^2+2dx\cdot x+dx^2-x_0^2}{dx}\\ &=2x+dx \end{aligned}\\ f'(x)=\lim_{dx\to 0} \frac{df}{dx}=\lim_{dx\to 0} 2x+dx=2x \]

  當 \(dx\) 無限趨近於 \(0\) 時，我們可以將其省略，那么 \(\frac{df}{dx}=2x\) 。所以函數 \(f(x)=x^2\) 的導數為 \(f'(x)=2x\) 。

• 但是，有沒有更直觀的方法呢？我可不想每次求導數的時候都去這樣推一遍。自然是有的。用幾何法也可以證明。

• 讓我們假設現在有一個邊長為 \(x\) 的正方形，那么它的面積就為 \(x^2\) ，該函數的函數值。此時如果該正方形的邊長增加一個很小的量 \(dx\) ，那么它的面積 \(ds\) 就會增加 \(dx\cdot x+dx\cdot x+dx^2\) ，因為 \(dx\) 本身就是一個極小的值，那么其平方會變得更小，我們可以直接忽略不計。那么 \(\frac{ds}{dx}\) 的值就為 \(2x\) ，與我們用代數法算出來的答案是一樣的。

• 感謝 @眼界小開 的建議，為了方便理解幾何法，我覺得這里應該放一張圖：

  

  3B1B：微積分的本質

• 假如我們學過微積分，這時我們就會發現，導數里面的系數 \(2\) 居然和原函數的指數 \(2\) 相同！這是巧合嗎？顯然不是。我們試着寫出函數 \(f(x)=x^3\) 的導數 \(f'(x)=3x^2\)，發現居然和二次函數一樣。那是不是……

• 好吧我坦白，這就是冪函數的共性……除此之外，這里還有一些其他基本函數的導數：

  1. \(C'=0\) （\(C\) 為任意常數）
  2. \((x^a)'=ax^{a-1}\)
  3. \((e^x)'=e^x\)
  4. \((\log_ax)'=\frac{1}{x\ \ln a}\)
  5. \((\sin x)'=\cos x\)
  6. \((\cos x)'=-\sin x\)
  7. \((\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}\)

• 我們發現這個里面有一個非常神奇的函數 \(e^x\) ，它的導數居然是它自己。怎么說呢，其實自然常數 \(e\) 就是這樣定義的。我們對任意指數函數求導，以 \(2^x\) 為例：

  \[(2^x)'=\frac{2^{x+dx}-2^x}{dx}=\frac{2^x\cdot 2^{dx}-2^x}{dx}=2^x\cdot \frac{2^{dx}-1}{dx} \]

  當 \(dx\) 趨近於 \(0\) 的時候，\(\frac{2^{dx}-1}{dx}\) 會趨近於某個常數。也就是說，\(2^x\) 的導數是它自己乘上一個固定的常數。說到這里你可能就明白了，自然常數 \(e\) 的值即為 \(\lim_{dx\to 0}\frac{e^{dx}-1}{dx}=1\Rightarrow e=\lim_{dx\to 0}(dx+1)^{\frac{1}{dx}}\)

  再多說一點，其實 \(2^x\) 的導數的那個常數就是 \(\ln\:(2)\) 。為什么？看完復合函數的求導就知道了。

導數的運算法則

基本初等函數適用的范圍畢竟還是太小了，生活中大多數函數都為基本初等函數通過某幾種運算得到，這時求導就需要用到導數的運算法則。

• 導數的運算法則有以下三種：

  1. 和規則：\(\begin{aligned}\left(f(x)+g(x)\right)'&=f'(x)+g'(x)\\ \left(af(x)\right)'&=af'(x)\end{aligned}\)
  2. 積規則：\(\left(f(x)\cdot g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\) （左乘右導，右乘左導）
  3. 鏈規則：\(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=g'(x)f'\left(g(x)\right)\)

• 這三種規則都有其直觀的幾何理解，就比如積規則，可以想象一個分別以兩個函數的函數值為邊長的長方形，看其面積隨着邊長怎樣變化。鏈規則則可想象三根數軸，各個因變量是如何隨着各自的自變量的變化而變化。

• 類似的方法還有很多，就不再贅述了。

• 講一講之前的那個指數函數求導的常數證明吧：

  \[(2^x)'=\left(e^{\ln(2^x)}\right)'=\left(e^{x\ln(2)}\right)'=\ln(2)\left(e^{\ln(2)}\right)^x=\ln(2)\cdot2^x \]

高階導數

• 我們把一個函數導數的導數稱作二階導數，其所反映的是該函數的導數的變化量，即變化量的變化量。
• 三階導數以及更高階的導數以此類推。
• 舉個栗子：速度是路程的導數，而加速度是速度的導數，所以加速度是路程的二階導數。
• 所以對於冪函數來說，其不斷求導的過程就是不斷地降冪 ，並且系數會以連乘 \(\prod\) 的形式存在。因為每一次求導，都會將系數乘以當前的指數，並且指數減一。
• \(For\:instance:f(x)=x^{10}\Rightarrow f^{(5)}(x)=\left(\prod_{i=6}^{10}i\right)x^5\)

積分

積分的定義

積分是微積分學與數學分析里的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說，對於一個給定的正實值函數，在一個實數區間上的定積分可以理解為在坐標平面上，由曲線、直線以及軸圍成的曲邊梯形的面積值（一種確定的實數值）。——百度百科

• 對於積分來說，就理解成面積就好了。
• 積分分為定積分和不定積分兩種。定積分為一個確定的數值，而不定積分則是一個函數。
• 求不定積分和求導數互為逆運算。為什么？我們假設 \(f(x)\) 圍成的面積的函數為 \(g(x)\) ，橫坐標增加 \(dx\) ，那么面積的增加量 \(ds\) 可以近似地看做一個長方形，那么 \(g'(x)=\frac{ds}{dx}\)，就是當前長方形的高，恰好就是 \(f(x)\) 的函數值。

積分的求法

• 很簡單，因為求不定積分和求導數是一對互逆運算，那么我們就可以根據已知的導數反推出原函數。
• 如上面的幾個導數求不定積分：
  1. \(\int 0dx=C\)
  2. \(\int x^adx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C\)
  3. \(\int e^xdx=e^x+C\)
  4. \(\int x^{-1}dx=\ln x+C\)

定積分的運算法則

• 如果僅僅只是靠上面那幾個基本公式的話顯然不能滿足需要，所以就需要用到積分的運算法則。

• 如下：
  1. \(\int_a^bkf(x)dx=k\int_a^bf(x)dx\)
  2. \(\int_a^b[f(x)\pm g(x)]dx=\int_a^bf(x)dx\pm \int_a^bg(x)dx\)
  3. \(\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx\)

二.泰勒級數

在數學中，泰勒級數（英語：Taylor series）用無限項連加式——級數來表示一個函數，這些相加的項由函數在某一點的導數求得。——百度百科

• 說白了，泰勒級數就是用一個多項式去模擬一個函數，至少在 \(OI\) 中是這樣的，可以用於牛頓迭代的推導以及生成函數的變形。

• 我們將多項式看做一個函數，那么問題就變成了如何用一個函數去模擬另外一個函數。

• 我們先從 \(x=0\) 下手（因為簡單）

• 如果兩個函數圖像一樣的話，那么至少在 \(x=0\) 時的函數值要相等吧，所以我們讓其的常數項相等。

• 如果兩個函數圖像一樣的話，那么至少在\(x=0\) 附近的變化趨勢要相等吧，所以我們讓其導數相等。

• 如果兩個函數圖像一樣的話，那么至少在\(x=0\) 附近的變化趨勢的變化趨勢要相等吧，所以我們讓其二階導數相等。

• ……

• 可以證明，在 \(x=0\) 時，\(g(x)\) 的 \(n\) 階導數只與 \(x^n\) 的系數有關系，因為之前的求導時已經變成 \(0\) ，而后邊的因為含有 \(x\) 而為 \(0\)

• 那么在 \(x=0\) 時我們就得到了函數 \(f(x)\) 的近似擬合函數

  \[g(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\ldots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \]

• 這個叫做麥克勞林級數。

• 等等，那泰勒去哪兒了？

• 剛剛所展現的是在 \(x=0\) 附近擬合的過程。只需稍作替換，就可以在任意地方 \(x=x_0\) 處擬合了。這就是泰勒級數：

  \[g(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \]

• 所以麥克勞林級數只是泰勒級數在 \(x=0\) 的特殊情況。

• 下面是我在 \(Geogebra\) 上所擬合的 \(\cos(x)\) 以及 \(e^x\) ：

  

  cos(x)

  

  e ^x

• 數學真的是一門美妙的學科。

一些有趣的東西

• 為什么圓的面積公式為 \(\pi r^2\) ？我們可以嘗試將圓分成許許多多的圓環，並且將其展平，近似地看做一個個長方形。然后將他們由小到大放在坐標軸上。當相差的半徑足夠小的時候，就可以看作是一個底為 \(r\) （半徑），高為 \(2\pi r\) （周長）的三角形，故得圓的面積公式。

• 為什么三角形鄰邊比上斜邊叫做余弦？因為余弦函數是正弦函數的導數，可以在單位圓上用幾何法證明。三角函數的導數循環如下：

  \[\begin{aligned} \sin'(x)&=\cos(x)\\ \cos'(x)&=-\sin(x)\\ \left(-\sin(x)\right)'&=-\cos(x)\\ \left(-\cos(x)\right)'&=\sin(x) \end{aligned} \]

——2021年2月8日