泰勒展開式

數學中，泰勒公式是一個用函數在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數足夠平滑的話，在已知函數在某一點的各階導數值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數值做系數構建一個多項式來近似函數在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函數值之間的偏差。

泰勒公式是將一個在x=x₀處具有n階導數的函數f(x)利用關於(x-x₀)的n次多項式來逼近函數的方法。

若函數f(x)在包含x₀的某個閉區間[a,b]上具有n階導數，且在開區間(a,b)上具有(n+1)階導數，則對閉區間[a,b]上任意一點x，成立下式：

 

其中，f⁽ⁿ⁾(x)表示f(x)的n階導數，等號后的多項式稱為函數f(x)在x₀處的泰勒展開式，剩余的R_n(x)是泰勒公式的余項，是(x-x₀)ⁿ的高階無窮小。

 

麥克勞林展開

函數的麥克勞林展開指上面泰勒公式中x₀取0的情況，即是泰勒公式的特殊形式，若f(x)在x=0處n階連續可導，則下式成立：

 

其中f⁽ⁿ⁾(x)表示f(x)的n階導數。

 

實際應用中，泰勒公式需要截斷，只取有限項，一個函數的有限項的泰勒級數叫做泰勒展開式。泰勒公式的余項可以用於估算這種近似的誤差。

泰勒展開式的重要性體現在以下三個方面：

　　冪級數的求導和積分可以逐項進行，因此求和函數相對比較容易。

　　一個解析函數可被延伸為一個定義在復平面上的一個開片上的解析函數，並使得復分析這種手法可行。

　　泰勒級數可以用來近似計算函數的值。

 

實例

1、展開三角函數y=sinx和y=cosx。

解：根據導數表得：

 

顯然y=sinx在x=0處具有任意階導數，並且。

根據麥克勞林公式：

 

類似地，可以展開y=cosx。

2、計算近似值

 

解：對指數函數

 

運用麥克勞林展開式並舍棄余項：

 

當x=1時：

 

取n=10，即可算出近似值e≈2.7182818。

 

 

關於泰勒公式的感性理解
轉自https://www.zhihu.com/question/50656047/answer/122146471

想象一個函數，你只能觀測其中很小一段的圖像，現在需要從這一小段預測其他點的函數值
 

隨便找了一張圖，假設泰勒原點在x=0，即你只能觀測x=0附近很小一段的函數圖像

這時你可能會想，切線在這段符合得挺好，就用它估計吧，這條線的斜率就是f'(0)

結果和實際相去甚遠

你可能會很奇怪，為什么看起來這么接近，結果還差這么大，就使勁盯着這段函數看啊看

 

盯了半天，經過了n次放大，你終於發現曲線的左右比切線都要高一些，像是一條拋物線。於是你在切線的基礎上加了一個拋物線因子，對應的二次斜率就是f''(0)/2

雖然還是很不准，還是比一開始的預測准了不少，於是你信心大增，很快發現了新的不同，利用三次曲線去預測

 

然后你會發現越來越准，直到預測了n次，你看得累了，預測結果和真實函數也差不多了，就把可能的最大偏差用一個余項表示，當然離原點越遠就越不准，這個余項也和x有關。泰勒公式可以說是用函數在某一點的導數逐次逼近函數的過程。