泰勒展開式

泰勒展開式核心思想是仿照

當我們想要仿造一個東西的時候，即先保證大體上相似，再保證局部相似，再保證細節相似，再保證更細微的地方相似……不斷地細化下去，無窮次細化以后，仿造的東西將無限接近真品。真假難辨。

 

由來

一位物理學家，把這則生活經驗應用到他自己的研究中，則會出現下列場景：

一輛隨意行駛的小車，走出了一個很詭異的軌跡曲線：

物理學家覺得這段軌跡很有意思，也想開車走一段一摸一樣的軌跡。

既然是復制，他把剛才關於“仿造”生活經驗應用到這里，提出了一個解決辦法：

既然想模仿剛才那輛車，

那首先應該保證初始位置一樣，

繼續模仿，讓車在初始位置的速度也一樣，

不滿足，繼續細化，這次保持位置、在初始位置處的速度一樣的同時，保證在初始位置處車的加速度也一樣，

不滿足，繼續細化，這次保證初始位置、初始位置處的速度、初始位置處的加速度都一樣，也保證初始位置處的加速度的變化率也一樣，

不滿足，精益求精，可以一直模仿下去。

物理學家得出結論：把生活中關於“仿造”的經驗運用到運動學問題中，如果想仿造一段曲線，那么首先應該保證曲線的起始點一樣，其次保證起始點處位移隨時間的變化率一樣（速度相同），再次應該保證前兩者相等的同時關於時間的二階變化率一樣（加速度相同）……如果隨時間每一階變化率（每一階導數）都一樣，那這倆曲線肯定是完全等價的。

一位數學家，泰勒，某天看到一個函數 ,不由地眉頭一皺，心里面不斷地犯嘀咕：有些函數啊，他就是很惡心，比如這種，還有三角函數，這樣的函數本來具有很優秀的品質（可以無限次求導，而且求導還很容易），但是呢，如果是代入數值計算的話，就很難了。比如，看到 后，我無法很方便地計算 時候的值。

為了避免這種如鯁在喉的感覺，必須得想一個辦法讓自己避免接觸這類函數，即把 這類函數替換掉。

 

可以根據這類函數的圖像，仿造一個圖像，與原來的圖像相類似，這種行為在數學上叫近似。不扯這個名詞。講講如何仿造圖像。

他聯想到生活中的仿造經驗，聯想到物理學家考慮運動學問題時的經驗，泰勒首先定性地、大概地思考了一下整體思路。（下面這段只需要理解這個大概意思就可以，不用深究。）

面對 的圖像，泰勒的目的是：仿造一段一模一樣的曲線 ，從而避免余弦計算。

 

想要復制這段曲線，首先得找一個切入點，可以是這條曲線最左端的點，也可以是最右端的點，anyway，可以是這條線上任何一點。他選了最左邊的點。

由於這段曲線過   這個點，仿造的第一步，就是讓仿造的曲線也過這個點，

完成了仿造的第一步，很粗糙，甚至完全看不出來這倆有什么相似的地方，那就繼續細節化。 開始考慮曲線的變化趨勢，即導數，保證在此處的導數相等。

 經歷了第二步，現在起始點相同了，整體變化趨勢相近了，可能看起來有那么點意思了。想進一步精確化，應該考慮凹凸性。高中學過：表征圖像的凹凸性的參數為“導數的導數”。所以，下一步就讓二者的導數的導數相等。

起始點相同，增減性相同，凹凸性相同后，仿造的函數更像了。如果再繼續細化下去，應該會無限接近。所以泰勒認為“仿造一段曲線，要先保證起點相同，再保證在此處導數相同，繼續保證在此處的導數的導數相同……”

 

推導

下面就是嚴謹的計算了。

先插一句，泰勒知道想仿造一段曲線，應該首先在原來曲線上隨便選一個點開始，但是為了方便計算，泰勒選擇從  這個點入手。

把剛才的思路翻譯成數學語言，就變成了：

首先得讓其初始值相等，即： 

其次，得讓這倆函數在x=0處的導數相等，即： 

再次，得讓這倆函數在x=0處的導數的導數相等，即： 

……

最終，得讓這倆圖像在x=0的導數的導數的導數的……的導數也相同。

 

這時候，泰勒思考了兩個問題：

1. 余弦函數能夠無限次求導，為了讓這兩條曲線無限相似，我仿造出來的  必須也能夠無限次求導，那  得是什么樣類型的函數呢？

2. 實際操作過程中，肯定不能無限次求導，只需要求幾次，就可以達到我想要的精度。那么，實際過程中應該求幾次比較合適呢？

綜合考慮這兩個問題以后，泰勒給出了一個比較折中的方法：令  為多項式，多項式能求幾次導數呢？視情況而定，比如五次多項式  ,能求5次導，繼續求就都是0了，幾次多項式就能求幾次導數。

泰勒開始計算，一開始也不清楚到底要求幾階導數。為了發現規律，肯定是從最低次開始。

先算個一階的。

可以看出，除了在  這個點，其他的都不重合，不滿意。

再來個二階的。

可以看出，在  這個點附近的一個小范圍內，二者都比較相近。

再來個四階的。

可以看出，仍然是在  這個點附近的一個范圍內二者很相近。只是，此時二者重合的部分擴大了。

到這里，不光是泰勒，我們普通人也能大概想象得到，如果繼續繼續提高階數，相似范圍繼續擴大，無窮高階后，整個曲線都無限相似。插個圖，利用計算機可以快速實現。

 

然而泰勒當時沒有計算機，他只能手算，他跟我們一樣，算到四階就算不動了，他就開始發呆：剛才為什么這么做來着？哦，對了，是為了計算 的時候避免出現余弦。所以他從最左端 處開始計算，算着算着，他沒耐心了，可是離着計算 還有一段距離，必須得繼續算才能把這倆曲線重合的范圍輻射到 處。

此時，他一拍腦門，恍然大悟，既然我選的點離着我想要的點還遠，我為啥不直接選個近點的點呢，反正能從這條曲線上任何一個點作為切入，開始仿造。近了能省很多計算量啊。想計算 ，可以從 處開始仿造啊

所以啊，泰勒展開式就是把一個三角函數或者指數函數或者其他比較難纏的函數用多項式替換掉。

也就是說，有一個原函數 ，我再造一個圖像與原函數圖像相似的多項式函數 ,為了保證相似，我只需要保證這倆函數在某一點的初始值相等，1階導數相等，2階導數相等，……n階導數相等。

 

 

泰勒算到四階以后就不想算了，所以他想把這種計算過程推廣到n階，算出一個代數式，這樣直接代數就可以了。泰勒就開始了下面的推導過程。

能求n次導數的多項式，其最高次數肯定也為n。所以，仿造的曲線的解析式肯定是這種形式：

前面說過，必須保證初始點相同，即

 求出了 

接下來，必須保證n階導數依然相等，即

 

因為對  求n階導數時，只有最后一項為非零值，為  ，

由此求出

求出了  ，剩下的只需要按照這個規律換數字即可。綜上

 

 

知道了原理，然后把原理用數學語言描述，只需要兩步即可求出以上結果。背不過推一下就行。

泰勒推到這里，又想起了自己剛才那個問題：不一定非要從x=0的地方開始，也可以從 開始。此時，只需要將0換成 ，然后再按照上面一模一樣的過程重新來一遍，最后就能得到如下結果：

泰勒指出：在實際操作過程中，可根據精度要求選擇n值，只要n不是正無窮，那么，一定要保留上式中的約等號。

 

 

若想去掉約等號，可寫成下面形式：