微積分學習筆記六：級數 泰勒級數 微分方程

1、正項級數$\sum_{n=1}^{oo}u_{n}$收斂的充要條件是它的部分和$S_{n}=\sum_{i=1}^{n}u_{i}$有上界。
2、正項級數常用的幾種判別方法：
（1）對於$\sum_{n=1}^{oo}u_{n}$和$\sum_{n=1}^{oo}v_{n}$，如果$u_{n}\leq v_{n}$，那么如果前者發散，后者發散，后者收斂前者收斂。
（2）對於$\sum_{n=1}^{oo}u_{n}$和$\sum_{n=1}^{oo}v_{n}$，$l=\lim_{n\rightarrow oo}\frac{u_{n}}{v_{n}}(0\leq l<oo)$,若l>0則同時收斂或者同時發散，l=0前者發散后者發散，后者收斂則前者收斂。
（3）對於$\sum_{n=1}^{oo}u_{n}$，$l=\lim_{n\rightarrow oo}\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$或者$l=\lim_{n\rightarrow oo}\sqrt[n]{u_{n}}$，l<1收斂；l=1不能確定；l>1發散。
（4）對於$\sum_{n=1}^{oo}u_{n}$，滿足$u_{n}\geq u_{n+1}> 0$，且存在一個單調遞減函數 f(x)，使得x取整數時 $f(n)=u_{n}$,那么級數與反常積分$\int_{1}^{oo}f(x)dx$有一樣的斂散性。
3、交錯級數判定：如果$u_{n}\geq u_{n+1}$且$\lim_{n\rightarrow oo}u_{n}=0$，那么級數收斂，且小於等於$u_{1}$。
4、對於任意項級數$\sum_{n=1}^{oo}u_{n}$，$l=\lim_{n\rightarrow oo}\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$或者$l=\lim_{n\rightarrow oo}\sqrt[n]{u_{n}}$，l<1收斂；l>1發散。
5、泰勒中值定理：函數f(x)在含$x_{0}$的某個開區間(a,b)具有n+1階導數，那么對(a,b)內任意一點x，有$f(x)=f(x_{0})+f^{'}(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f^{''}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n+R_{n}(x)$，其中$R_{n}(x)=\frac{f^{n+1}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}$，$\xi$是介於x和$x_{0}$之間的某個值。
6、若函數f(x)在$x_{0}$的某鄰域內有任意階導數，則級數$f(x)=f(x_{0})+f^{'}(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f^{''}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n+...$在該鄰域內收斂於f(x)的充要條件是余項$R_{n}(x)$滿足對於鄰域內任何x,$\lim_{n\rightarrow oo}R_{n}(x)=0$。
7、 $e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+...$
$sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-...+(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+..$
$cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-...+(-1)^{n+1}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+..$
$ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}-...+(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{(n)!}+.. (x\in (-1,1])$
8、$y^{''}+py^{'}+qy=f(x)$。f(x)=0，則為二階常系數齊次線性微分方程。
9、$y^{''}+py^{'}+qy=0$的解：解方程$x^{2}+px+q=0$
（1）若$p^{2}-4q>0$，$r_{1}$與$r_{2}$是兩個相異的實根，通解為$y=C^{1}e^{r_{1}x}+C^{2}e^{r_{2}x}$.
（2）若$p^{2}-4q=0$，解為$r_{1}$，通解為$y=(C_{1}+C_{2}x)e^{r_{1}x}$
（3）若$p^{2}-4q<0$，$r_{1}=\alpha +i\beta $,$r_{2}=\alpha -i\beta $,$\alpha=-\frac{p}{2}$,$\beta =\frac{\sqrt{4q-p^{2}}}{2}$,$i=\sqrt{-1}$,通解為$y=C_{1}e^{(\alpha+i\beta )x}+C_{2}e^{(\alpha-i\beta )x}=e^{\alpha x}(C_{1}cos(\beta x)+C_{2}sin(\beta x))$