泰勒級數

泰勒公式（Taylor Series）能把大多數的函數展開成冪級數，即

$f(x) = \displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}A_n x^n }$

式子當中只有加法與乘法，容易求導，便於理解與計算。這種特性使得泰勒公式在數學推導（如：微分方程以冪級數作為解），數值逼近（如：求e、開方），函數逼近（在計算機某些計算優化時，可以把某些繁瑣的式子進行泰勒展開，僅保留加法與乘法運算），復分析等多種應用中有廣泛應用。

 

泰勒公式定義

條件：有實函數$f$，$f$在閉區間$[a,b]$是連續的，$f$在開區間$(a,b)$是$n+1$階可微。

則可以對函數$f$進行泰勒展開：

$\begin{align*}
f(x)
&= \frac{1}{0!}f(x_0) \\
&+\frac{1}{1!}(x-x_0)f'(x_0) \\
&+\frac{1}{2!}(x-x_0)^2f''(x_0) \\
&+ \cdot \cdot \cdot \\
&+\frac{1}{n!}(x-x_0)^nf^{(n)}(x_0) \\
&+ R_n
\end{align*}$

其中$x_0$為區間$(a,b)$中的某一點， $x_0 \in (a,b)$，變量$x$也在區間$(a,b)$內。

泰勒展開得到的是一個多項式，可以寫成

$f(x) = \displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}\frac{(x-x_0)^k}{k!}f^{(k)}(x) + R_n }$

其中$R_n$為泰勒公式的余項（Remainder）。該余項可以寫成以下形式

$R_n = \displaystyle{ \int_{x_0}^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt }$

余項$R_n$還可以進一步表示成：存在一點$x_0<\xi<x$使得下面的式子成立

$R_n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $

 

 

泰勒公式推導

泰勒公式推導的起點為微積分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）：

$\displaystyle{ \int_{x_0}^x f'(t)dt } = f(x) – f(x_0)$

因此有：

$\displaystyle{ f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(t)dt }$

然后用分部積分法(Integration by parts)對積分部分進行分解:

$\begin{align*}
f(x)
&=\color{red}{f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(t)dt} \\
&=f(x_0) + \left. tf'(t)\right|_{x_0}^x - \int_{x_0}^x tf''(t)dt \qquad udv = uv - vdu \\
&=f(x_0) + xf'(x) – x_0f'(x_0) - \int_{x_0}^x tf''(t)dt \\
&=f(x_0) + x\left( f'(x_0) + \int_{x_0}^x f''(t)dt \right ) – x_0f'(x_0) - \int_{x_0}^x tf''(t)dt \\
&\qquad Fundamental \ Theorem \ of \ Calculus\\
&=\color{red}{f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + \int_{x_0}^x (x-t)f''(t)dt} \\
&=f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + \left.(xt - \frac{1}{2}t^2)f''(t)\right|_{x_0}^x - \int_{x_0}^x(xt - \frac{1}{2}t^2) f'''(t)dt \qquad udv = uv - vdu \\
&=f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + \frac{x^2}{2}f''(x) + \frac{-2x_0x + {x_0}^2}{2}f''(x_0) - \int_{x_0}^x\frac{2xt-t^2}{2} f'''(t)dt \\
&=f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + \frac{x^2}{2}\left( f''(x_0) + \int_{x_0}^x f'''(t)dt \right ) + \frac{-2x_0x + {x_0}^2}{2}f''(x_0) \\
&\quad+ \int_{x_0}^x\frac{-2xt+t^2}{2} f'''(t)dt \quad Fundamental \ Theorem \ of \ Calculus\\
&=\color{red}{f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + \frac{(x-x_0)^2}{2}f''(x_0) + \int_{x_0}^x\frac{(x-t)^2}{2} f'''(t)dt}
\end{align*}$

運用微積分基本定理以及分部積分法繼續推導下去可以得到：

$\begin{align*}
f(x)
&= \frac{1}{0!}f(x_0) \\
&+\frac{1}{1!}(x-x_0)f'(x_0) \\
&+\frac{1}{2!}(x-x_0)^2f''(x_0) \\
&+\cdot \cdot \cdot \\
&+\frac{1}{n!}(x-x_0)^nf^{(n)}(x_0) \\
&+\int_{x_0}^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt \qquad *
\end{align*}$

由此得到余項

$R_n = \int_{x_0}^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt $

 

 

泰勒公式余項推導

泰勒公式的余項能寫成多種形式，我們這里只對它的拉格朗日（Lagrange）形式進行推導

拉格朗日余項為：存在一點$x_0<\xi<x$使得下面的式子成立

$R_n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $

 

推導過程如下：

令

$\begin{align*}
F(x)
&=  \frac{1}{0!}f(x_0) \\
&+ \frac{1}{1!}(x-x_0)f'(x_0) \\
&+ \frac{1}{2!}(x-x_0)^2f''(x_0) \\
&+ \cdot\cdot\cdot \\
&+ \frac{1}{n!}(x-x_0)^nf^n(x_0)
\end{align*}$

那么就有

$R_n(x) = f(x) – F(x)$

 

由於$f(x)$與$F(x)$在區間$(a,b)$上都有$n+1$階導，因此$R_n(x)$在此區間上也有$n+1$階導。

又因為$R_n(x) = \int_{x_0}^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt $，因此有

$R_n(x_0) = R'_n(x_0)=R''_n(x_0) = … = R_n^{(n)}(x_0) = R_n^{(n+1)}(x_0) = 0$

 

對函數$R_n(x)$以及函數$G(x) = (x-x_0)^{n+1}$應用柯西中值定理（Cauchy Mean Value Theorem)，得到:

存在一點$\xi_1 \in (x_0,x)$，使得下面的等式成立

$\frac{R'_n(\xi_1)}{G'(\xi_1)} = \frac{R_n(x) – R_n(x_0)}{G(x) – G(x_0)} $

等號左邊展開后為$\frac{R'_n(\xi_1)}{(n+1)(\xi_1-x_0)^n}$，等號右邊為$\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}$，即

$\frac{R'_n(\xi_1)}{(n+1)(\xi_1 – x_0)^n} = \frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}$

 

現在注意等號左邊，把左邊當作對$R'_n(x)$與$(n+1)(x-x_0)^n$在區間$(x_0,\xi_1)$應用柯西中值定理，得到

存在一點$\xi_2 \in (x_0,\xi_1)$，使得下面的等式成立

$\frac{R'_n(\xi_1)}{(n+1)(\xi_1-x_0)^n} = \frac{R'_n(\xi_1)-R'_n(x_0)}{(n+1)(\xi_1-x_0)^n-0}=\frac{R''_n(\xi_2)}{n(n+1)(\xi_2-x_0)^{n-1}}$

 

按照這種方法繼續推導下去，經過$n+1$次后得到

$\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}} = \frac{R^{n+1}_n(\xi)}{(n+1)!}  \qquad (\ \xi\in (x_0,\xi_n)\ ,\ thus \xi \in (x_0,x)\ )$

另外，可以看到$R_n^{(n+1)}(x)=\left( f(x)-F(x) \right)^{(n+1)}=f^{(n+1)}(x)$，代入上面的式子得到

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \qquad \xi \in (x_0,x)$

 

 

泰勒級數(Taylor Series)

按照上述泰勒公式，如果$f(x)$在$x_0$處無限可導，那么泰勒公式則變為

$f(x) = \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_{\infty} }$

其中冪級數（Power Series）

$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n} $

稱為$f(x)$在點$x_0$處的泰勒級數。

 

 

泰勒級數的收斂性分析

泰勒級數在實數域上的收斂性分析

如果函數$f(x)$在包含$x_0$的區間$(a,b)$上無限可導，那么對於所有$x \in (a,b)$，$f(x)$能展開成泰勒級數的條件就是余項在無窮處趨於0，即

$\displaystyle{f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{n\to\infty}R_n(x) = 0 }$

更進一步分析，在泰勒公式時有余項

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \qquad , \qquad let \ \xi_{n+1} = \xi$

在其前一步，有

$R_{n-1}(x) = \frac{f^{(n)}(\xi_n)}{(n)!}(x-x_0)^{n}$

兩者相比，得

$\frac{R_{n}(x)}{R_{n-1}(x)} = \frac{f^{(n+1)} (\xi_{n+1})(x-x_0)}{f^{(n)}(\xi_{n})(n+1) }$

只有$\left| \frac{R_n(x)}{R_{n-1}(x)} \right| < 1$時，才表明余項在變小，即需要

$\left| \frac{f^{(n+1)} (\xi_{n+1})(x-x_0)}{f^{(n)}(\xi_{n})(n+1) } \right| < 1$

$|x-x_0| < \left| \frac{ f^{(n)}(\xi_{n})(n+1) }{ f^{(n+1)}(\xi_{n+1}) } \right|$

否則表明余項在變大。

 

對於泰勒級數來說，如果在$n$趨向於$\infty$時，余項一直在變大，那么表明泰勒級數會越來越遠離原來的函數。

 

泰勒級數近似值選取

從上述不等式還可以看出，在求某個點$x=x_1$的近似值時，$x_1$與$x_0$的距離越近，則余項越小，表明誤差越小。

也可以參考某乎上的一篇不錯的文章。該文章中提到的復數域在下一節有詳細推導。

 

泰勒級數在復數域上的收斂性分析

如在實數域收斂分析的時候描述，函數能夠展開成泰勒函數的條件是余項在$\infty$處可以收斂。實數域畢竟也只是復數域的一部分，從復數域來分析能幫助我們了解泰勒級數的全貌。

 

復數平面的泰勒級數（Taylor Series in Complex Plane）

復數域的泰勒級數的結構跟實數的泰勒級數一樣，只是把函數從實數往復數轉變，即

$\displaystyle{ f(z) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(x-x_0)^n}$

其中函數$f$為從復數到復數的映射$f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$，常數為復數$z_0 \in \mathbb{C}$，變量為復數$z \in \mathbb{C}$。該式子可以簡化為：

$\displaystyle{ f(z) =  \sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n } \qquad,\qquad z,a,c_n\in\mathbb{C}$

 

收斂圓（Disk of Convergence）

從定義上來說，在復數平面上，如果泰勒級數在某一點$z'$趨於$\infty$，那么就可以說泰勒級數$f(z')$是發散（diverge）的，否則為收斂（converge）。

如果泰勒級數在某有限點處發散的話，那么該泰勒級數的收斂域成一個圓盤（disk）狀，稱為收斂圓（Disk of Convergence）。該收斂圓的邊界與圓心$a$的距離稱為收斂半徑（Radius of Convergence）$r$。這是泰勒級數的一個特性，下面我們將證明泰勒級數具有這種特性。

 

證明：

假設泰勒級數在有限點$z$處收斂，即有

$\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n } < \infty \qquad , \qquad for \ |z|<\infty$

泰勒級數為無限項求和，因此我們能通過根值判別法（Root test）來分析泰勒級數的收斂性。把$c_n(z-a)^n $看作一個整體，即

$A_n = c_n(z-a)^n $

那么泰勒級數變成$\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}A_n  }$，根據Root test，有

$\displaystyle{ C = \limsup_{n\to \infty} \sqrt[n]{ |A_n| } = \limsup_{n\to \infty} \sqrt[n]{ |c_n(z-a)^n| } = \limsup_{n\to \infty} \sqrt[n]{ |c_n| }|z-a| }$

limsup表示的是上極限，$\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} }$表示的是當$n$在無窮遠處的上極限。Root test表明了當$C<1$時，泰勒級數收斂；當$C>1$時，泰勒級數發散；當$C=1$時，泰勒級數可能收斂或者發散。

 

我們上面假設泰勒級數在點$z$處收斂，即

$\displaystyle{ C = \limsup_{n\to \infty} \sqrt[n]{ |c_n| }|z-a| < 1 }$

$\displaystyle{ |z - a| < \frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n} } }$

上面的式子意味着，要使得泰勒級數收斂，$z$與點$a$的距離必須小於

$\displaystyle{r = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n} } }$

對於泰勒級數來說，$a$為選定的無限可導的一點，可以看作圓心，那么收斂域就是一個圓盤，圓盤的半徑為$r$。當$r = 1/0$時，意味着半徑無窮大，即泰勒級數在整個復數平面上都收斂。

 

收斂半徑(Radius of Convergence)求解

在前面證明的時候我們算出了泰勒級數的收斂半徑為

$\displaystyle{r = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n} } }$

這看起來不太好計算，下面有另外一種計算方式：

根據比式判別法（Ratio test），只有當下面的式子成立時，泰勒級數收斂

$\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{|A_{n+1}|}{|A_n|} = \lim_{n\to\infty}\frac{|c_{n+1}(z-a)^{n+1}|}{|c_n(z-a)^n|} = \lim_{n\to\infty}\frac{|c_{n+1}(z-a)|}{c_n} < 1 }$

因此有

$r = \displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right| = \lim_{n\to\infty}\left| \frac{f^{(n)}(a)(n+1)}{f^{(n+1)}(a)} \right| }$

 

 

泰勒級數與原函數的關系

從復數平面上看，泰勒級數是從選定的某點$a$起，通過$n\to\infty$不斷擬合原函數$f$的一種方式，這種擬合的展開是圓心$a$對稱的。因此，如果原函數$f$有奇點（singularity：如$\frac{1}{0}$），並且距離$a$最近的奇點為$b$，那么泰勒級數為了擬合原函數，會在$b$點處趨於$\infty$，即在$b$處發散，又由於泰勒級數自身的收斂圓特性，使得泰勒級數無法在收斂圓以外擬合原函數，收斂半徑為$|b-a|$。

這也意味着，如果泰勒級數的收斂半徑無窮大，那么泰勒級數就能在復數平面上完全擬合原函數，因此泰勒級數等於原函數。

 

例：

$f(x) = \frac{1}{x}$，選取$a = 4$為無限求導點。當泰勒級數取前50階時，可以看到：

在實數域，泰勒級數會在$(0,8)$收斂

在復數平面，泰勒級數會以$a = 4+0i$為圓心，收斂半徑為$r=4$

 

Mathematica Script

(* Real Domain *)
a = 4;
g[x_] := 1/x;
h[x_, n_] := Normal[Series[g[x], {x, a, n}]];
Manipulate[
 Plot[{g[x], Evaluate[h[x, n]]}, {x, -20, 20}, PlotRange -> 4, 
  PlotLegends -> "Expressions"], {n, 1, 60, 1}]

(* Complex Plane *)
ComplexFnPlot[f_, range_, options___] := 
  Block[{rangerealvar, rangeimagvar, g}, 
   g[r_, i_] := (f /. range[[1]] :> r + I i);
   Plot3D[
    Abs[g[rangerealvar, rangeimagvar]], {rangerealvar, Re[range[[2]]],
      Re[range[[3]]]}, {rangeimagvar, Im[range[[2]]], Im[range[[3]]]},
     options, 
    ColorFunction -> (Hue[Mod[Arg[g[#1, #2]]/(2*Pi) + 1, 1]] &), 
    ColorFunctionScaling -> False]];
ComplexFnPlot[h[z, 50], {z, -10 - 10 I, 10 + 10 I}, 
 PlotRange -> {-4, 500}]