只是大概說一下怎么使用泰勒展開。
一、一般形式
對於一個函數 \(f(x)\) 以及一個點 \(x_0\)，我們在 \(x_0\) 對函數 \(f\) 進行一個擬合，設擬合函數為 \(T\)，那么泰勒展開的一般形式如下：
\[T(x)=f(x_0)+{f'(x_0)\over 1!}(x-x_0)+{f^{''}(x_0)\over 2!}(x-x_0)^2+\cdots +{f^{(n)}(x_0)\over n!}(x-x_0)^n=\sum_{i=0}^\infty{f^{(i)}(x_0)\over i!}(x-x_0)^i \]
但是這個擬合，無論擬合到多少項都會存在誤差，但是當 \(n\) 非常大的時候，可以說誤差比較小。
如果要比較具體地理解，可以看 這里 。
二、一些練習
- \(f(x)=e^x\)
有泰勒展開
\[T(x)=\sum_{i=0}^\infty{f^{(i)}(x_0)\over i!}(x-x_0)^i \]
並且有 \(f'(x)=f(x)\)，令 \(x_0=0\)，則
\[T(x)=\sum_{i=0}^\infty {x^i\over i!} \]
- \(f(x)=\sin(x)\)
有泰勒展開
\[T(x)=\sum_{i=0}^\infty{f^{(i)}(x_0)\over i!}(x-x_0)^i \]
注意到 \(f'(x)=\cos(x),f''(x)=-\sin(x),f'''(x)=-\cos(x),f''''(x)=\sin(x)=f(x)\)，即原函數求四次導之后變回自己，讓 \(f(x)\) 在 \(x_0=0\) 處展開，有 \(f(x)=0,f'(x)=1,f''(x)=0,f'''(x)=-1\)，那么泰勒展開有
\[T(x)={x\over 1!}-{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!}-{x^7\over 7!}+\cdots+(-1)^{n}{x^{2n+1}\over (2n+1)!}+\cdots \]
- \(f(x)=\cos(x)\)
與 \(g(x)=\sin(x)\) 類似，也有相似規律，直接寫了
\[T(x)=1-{x^2\over 2!}+{x^4\over 4!}-\cdots +(-1)^n{x^{2n}\over (2n)!}+\cdots \]
- \(f(x)=\ln(x+1)\)
令 \(x_0=0\)，則
\[\begin{aligned} T(x)&=\sum_{i=0}^\infty {f^{(i)}(0)\over i!}x^i \\ \end{aligned} \]
分析多階導數，有 \(f'(x)={1\over x+1}\)，\(f''(x)=-{1\over (x+1)^2}\)，\(f'''(x)={2\over (x+1)^3}\)，不難發現 \(f^{(k)}(x)={{(-1)^{k-1}(k-1)!}\over (x+1)^k}\)，那么有 \(f^{(k)}(0)=(-1)^{k-1}(k-1)!\)，將其帶入展開式，就有
\[T(x)=\sum_{i=0}^\infty {(-1)^{i-1}x^i\over i}=\sum_{i=0}^\infty {(-1)^{i+1}x^i\over i} \]
- \(f(x)={1\over x+1}\)
分析高階導數，發現和 \(\ln(x)\) 的導數有相似性，可以發現 \(f^{(k)}(x)={(-1)^kk!\over (x+1)^k}\)，直接寫在 \(x_0=0\) 處的展開式，有
\[T(x)=\sum_{i=0}^\infty (-1)^ix^i \]
- \(f(x)=(1+x)^a\)
直接暴力展開，不解釋。