只是大概说一下怎么使用泰勒展开。
一、一般形式
对于一个函数 \(f(x)\) 以及一个点 \(x_0\)，我们在 \(x_0\) 对函数 \(f\) 进行一个拟合，设拟合函数为 \(T\)，那么泰勒展开的一般形式如下：
\[T(x)=f(x_0)+{f'(x_0)\over 1!}(x-x_0)+{f^{''}(x_0)\over 2!}(x-x_0)^2+\cdots +{f^{(n)}(x_0)\over n!}(x-x_0)^n=\sum_{i=0}^\infty{f^{(i)}(x_0)\over i!}(x-x_0)^i \]
但是这个拟合，无论拟合到多少项都会存在误差，但是当 \(n\) 非常大的时候，可以说误差比较小。
如果要比较具体地理解，可以看 这里 。
二、一些练习
- \(f(x)=e^x\)
有泰勒展开
\[T(x)=\sum_{i=0}^\infty{f^{(i)}(x_0)\over i!}(x-x_0)^i \]
并且有 \(f'(x)=f(x)\)，令 \(x_0=0\)，则
\[T(x)=\sum_{i=0}^\infty {x^i\over i!} \]
- \(f(x)=\sin(x)\)
有泰勒展开
\[T(x)=\sum_{i=0}^\infty{f^{(i)}(x_0)\over i!}(x-x_0)^i \]
注意到 \(f'(x)=\cos(x),f''(x)=-\sin(x),f'''(x)=-\cos(x),f''''(x)=\sin(x)=f(x)\)，即原函数求四次导之后变回自己，让 \(f(x)\) 在 \(x_0=0\) 处展开，有 \(f(x)=0,f'(x)=1,f''(x)=0,f'''(x)=-1\)，那么泰勒展开有
\[T(x)={x\over 1!}-{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!}-{x^7\over 7!}+\cdots+(-1)^{n}{x^{2n+1}\over (2n+1)!}+\cdots \]
- \(f(x)=\cos(x)\)
与 \(g(x)=\sin(x)\) 类似，也有相似规律，直接写了
\[T(x)=1-{x^2\over 2!}+{x^4\over 4!}-\cdots +(-1)^n{x^{2n}\over (2n)!}+\cdots \]
- \(f(x)=\ln(x+1)\)
令 \(x_0=0\)，则
\[\begin{aligned} T(x)&=\sum_{i=0}^\infty {f^{(i)}(0)\over i!}x^i \\ \end{aligned} \]
分析多阶导数，有 \(f'(x)={1\over x+1}\)，\(f''(x)=-{1\over (x+1)^2}\)，\(f'''(x)={2\over (x+1)^3}\)，不难发现 \(f^{(k)}(x)={{(-1)^{k-1}(k-1)!}\over (x+1)^k}\)，那么有 \(f^{(k)}(0)=(-1)^{k-1}(k-1)!\)，将其带入展开式，就有
\[T(x)=\sum_{i=0}^\infty {(-1)^{i-1}x^i\over i}=\sum_{i=0}^\infty {(-1)^{i+1}x^i\over i} \]
- \(f(x)={1\over x+1}\)
分析高阶导数，发现和 \(\ln(x)\) 的导数有相似性，可以发现 \(f^{(k)}(x)={(-1)^kk!\over (x+1)^k}\)，直接写在 \(x_0=0\) 处的展开式，有
\[T(x)=\sum_{i=0}^\infty (-1)^ix^i \]
- \(f(x)=(1+x)^a\)
直接暴力展开，不解释。