歐拉公式：
歐拉公式的巧妙之處在於，它沒有任何多余的內容，將數學中最基本的e、i、π放在了同一個式子中，同時加入了數學也是哲學中最重要的0和1，再以簡單的加號相連。高斯曾經說：“一個人第一次看到這個公式而不感到它的魅力，他不可能成為數學家。” 雖然不敢肯定她是世界上“最偉大公式"，但是可以肯定它是最完美的數學公式之一。
1、自然數的“e”含於其中。 自然對數的底，大到飛船的速度，小至蝸牛的螺線，誰能夠離開它？
2、最重要的常數 π 含於其中。 世界上最完美的平面對稱圖形是圓。“最偉大的公式”能夠離開圓周率嗎？ (還有π和e是兩個最重要的無理數！)
3、最重要的運算符號 + 含於其中。 之所以說加號是最重要的符號，是因為其余符號都是由加號派生而來。減號是加法的逆逆運算，乘法是累計的加法……
4、最重要的關系符號 = 含於其中。 從你一開始學算術，最先遇見它，相信你也會同意這句話。
5、最重要的兩個元在里面。零元0 ，單位1 ，是構造群，環，域的基本元素。如果你看了有關《近世代數》的書，你就會體會到它的重要性。
6、最重要的虛單位 i 也在其中。 虛單位 i 使數軸上的問題擴展到了平面，而在哈密爾的 4 元數與 凱萊的 8 元數中也離開不了它。
之所以說她美，是因為這個公式的精簡。她沒有多余的字符，卻聯系着幾乎所有的數學知識。 有了加號，可以得到其余運算符號； 有了0，1，就可以得到其他的數字； 有了 π 就有了圓函數，也就是三角函數； 有了 i 就有了虛數，平面向量與其對應，也就有了哈密爾的 4 元數，現實的空間與其對應； 有了 e 就有了微積分，就有了和工業革命時期相適宜的數學。
三角形中的歐拉公式： 設r為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則： d＾2=r＾2-2rr
拓撲學里的歐拉公式： v+f-e=x(p)，v是多面體p的頂點個數，f是多面體p的面數，e是多面體p的棱的條數,x(p)是多面體p的歐拉示性數。 如果p可以同胚於一個球面（可以通俗地理解為能吹脹而綳在一個球面上），那么x(p)=2，如果p同胚於一個接有h個環柄的球面，那么x(p)=2-2h。 x(p)叫做p的歐拉示性數，是拓撲不變量，就是無論再怎么經過拓撲變形也不會改變的量，是拓撲學研究的范圍。
在多面體中的運用: 簡單多面體的頂點數v、面數f及棱數e間有關系 v+f-e=2 這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、棱數特有的規律。
初等數論里的歐拉公式： 歐拉φ函數：φ(n)是所有小於n的正整數里，和n互素的整數的個數。n是一個正整數。 歐拉證明了下面這個式子： 如果n的標准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數，而且兩兩不等。則有 φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm) 利用容斥原理可以證明它。 此外還有很多著名定理都以歐拉的名字命名。