定常系統（時不變系統）和時變系統&& 動態系統和靜態系統

根據系統是否含有參數隨時間變化的元件，自動控制系統可分為時變系統與定常系統兩大類。

定常系統又稱為時不變系統，其特點是：系統的自身性質（所研究物體的本質屬性例如：質量、轉動慣量等）不隨時間而變化。具體而言，系統響應的性態只取決於輸入信號的性態和系統的特性，而與輸入信號施加的時刻無關，即若輸入u(t)產生輸出y(t)，則當輸入延時τ后施加於系統，u(t-τ）產生的輸出為y(t-τ)。

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定常系統又稱為時不變系統

即：系統的自身性質不隨時間而變化。具體而言，系統響應的性態只取決於輸入信號的性態和系統的特性，而與輸入信號施加的時刻無關。也就是說我t1時輸入u，輸出為y，那我t2時刻輸入u，輸出值還為y

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時變系統

其中一或一個以上的參數值隨時間而變化，從而整個特性也隨時間而變化的系統。

火箭是時變系統的一個典型例子，在飛行中它的質量會由於燃料的消耗而隨時間減少；另一個常見的例子是機械手，在運動時其各關節繞相應軸的轉動慣量是以時間為自變量的一個復雜函數。

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 時不變系統是輸出不會直接隨着時間變化的系統。

如果輸入信號產生輸出y(t)，那么對於任意時間延遲的輸入將得到相同時間延遲的輸出 。

如果系統的傳遞函數不是時間的函數，就可以滿足這個特性。 這個特性也可以用示意圖的術語進行描述

如果一個系統是時不變的，那么系統框圖與任意延時時刻的框圖都是可以互換的。

為了表明如何確定系統是時不變系統，我們來看兩個系統：

系統 A:

系統 B:

由於系統 A 除了x(t)與 y(t)之外還顯式地依賴於  t 所以它是時變系統，而系統 B 沒有顯式地依賴於時間  t 所以它是時不變的。

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 數學分析：

假定某個系統的輸入為u(t)，相應的輸出為y(t)。

當輸入經過τ的延時后，即輸入為u(t-τ)時，若輸出也相應地延時τ，即輸出y(t-τ)，那么這個系統即為定常系統。
即當輸入信號u(t)先進行時移τ為u(t-τ)，再進行系統變換H[▪]得到的值H[u(t-τ)]；

說白了就是一個系統從初始時刻運行一段時間T，這段時間的輸入輸出有一段相應的軌跡線。

如果將這個系統的T時刻的狀態以初始時刻的重新運行一段時間T時，輸入從初始時刻變化形式與之前一樣，看看輸出是不是與之前的一樣

（比如以火箭舉例輸入指的是推射的能量，輸出指的是加速度；

第一次火箭以正常的情況發射，運行T時間時，輸入能量、加速度與時間能繪制出一個三維曲線Q1；

第二次火箭以第一次時T時刻的狀態發射，運行T時間時（輸入能量隨時間的變化與第一次一樣），這時輸入能量、加速度輸出、以及時間變化繪制另一個三維曲線Q2，Q1和Q2這兩個曲線在輸出加速度上是不重合的（肯定會變化，因為T時刻的質量變小了））

與輸入信號u(t)先進行系統變換H[▪]得到y(t)，再進行時移得到的值y(t-τ)相等，即H[u(t-τ)]=y(t-τ)。
如：
1.判斷系統y(t)=cos[u(t)],t>0是否為時不變系統：
1).輸入信號u(t)，先進行時移為u(t-τ)，再進行系統變換得到的值為cos[u(t-τ)]，t>0；
2).輸入信號u(t)，先進行系統變換為cos[u(t)]，再進行時移得到的值為cos[u(t-τ)]，t>0；
兩者相等，所以該系統為時不變系統。
2.判斷系統y(t)=u(t)▪cost是否為時不變系統：
1).輸入信號u(t)，先進行時移為u(t-τ)，再進行系統變換得到的值為u(t-τ)▪cost，t>0；
2).輸入信號u(t)，先進行系統變換為u(t)▪cost，再進行時移得到的值為u(t-τ)▪cos(t-τ)，t>0；
u(t-τ)▪cost≠u(t-τ)▪cos(t-τ)，所以該系統為時變系統

 最終看的是兩種路徑最終圖像（即右下角的圖像）是否重合

注意：上面的分析方法也可以用我說的方法檢驗是否為定常系統，即：假設t1時輸入u，輸出為y，看t2時刻輸入u，輸出值是否還為y即可

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動態系統和靜態系統

靜態系統與時間無關，當前的輸入即確定當前的輸出，具有瞬態性；動態系統與時間有關，對於一般因果系統，當前的輸入不僅取決於當前的輸入，還與系統過去時刻的狀態（輸入和輸出）有關。

 

1.1動態系統的定義

 

在很多領域都有關於"系統"這個概念，系統往往描述了一個比較復雜的關系的總和，而我們要想很好控制這個系統，就需要先了解它。控制理論研究的是更加廣義的系統，把一個系統先當作黑箱，那么這個黑箱和外界的交互關系，就對應了有不同時間的輸入輸出。

圖1.1系統的輸入輸出

在t時刻，這m個會影響系統的輸入量在控制理論里稱為控制變量(Stellgrößen)，而這p個系統輸出的可以被傳感器測量的量稱為測量變量(Messgrößen)。現在我們做一些基本假設，限制一些條件，只研究連續時變的線性系統。而且系統的行為，即輸出量，由描述系統的函數通過輸入量，在時域上唯一確定。我們把系統的行為分為靜態和動態兩類。

 

用電路來舉個例子,  現在是輸出電壓，  表示輸入電流，那么電路系統有：

圖1.2 含阻電路和含容電路

例a：帶電阻的電路

 

(1.1) 

 

例b：帶電容的電路

 

(1.2) 

 

顯然和不隨時間變化的例a相比，例b里的初始條件 ，以及  在這個時間區間  內的變化決定了輸出電壓。系統的狀態受過去影響，隨時間變化。這樣的系統被稱為動態系統。