本文是上一篇《線性時不變系統可鎮定 (stabilizable) 等價命題證明》(https://www.cnblogs.com/beta2187/p/B1726.html) 的延續, 公式定義等的編號也按上一篇順延.
考慮如下線性時不變系統:
$$ \dot{x} = Ax + Bu \qquad (1) \\ y = Cx + Du \qquad (2) $$
*(注: 矩陣或向量上的 " * " 均代表轉置)*
定義 4 對任意 \(t_1>0\), 若初始狀態 \(x(0) = x_0\) 能夠由輸入 \(u(t)\) 和輸出 \(y(t)\) 在區間 \([0, t_1]\) 上的值唯一 確定, 則稱由方程 (1) 和 (2) 或者矩陣對 \((C, A)\) 所描述的動態系統是可觀的, 否則該系統或 \((C, A)\) 是不可觀的.
定理 3 下列命題等價:
- (i) \((C, A)\) 可觀;
- (ii) 矩陣 \(W_o(t) = \int_0^t e^{A^*\tau}C^*Ce^{A\tau} d\tau\) 對任意 \(t>0\) 是正定的;
- (iii) 可觀測性矩陣 $$ \mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \ CA \ CA^2 \ \vdots \ CA^{n-1} \end{bmatrix} $$ 是列滿秩的, 或者 \(\bigcap_{i=1}^n \text{Ker} (CA^{i-1}) = 0\);
- (iv) 對所有的 \(\lambda \in \mathbb{C}\), 矩陣 \(\binom{A- \lambda I}{C}\) 是列滿秩的;
- (v) 設 \(\lambda\) 和 \(y\) 分別是 \(A\) 的任意特征值和相應的任意右特征向量, 即 \(Ay = \lambda y\), 則 \(Cy \neq 0\);
- (vi) 通過適當選取 \(L\) 能夠任意配置 \(A+LC\) 的特征值 (條件是復數特征值必須以共軛對出現);
- (vii) \((A^*, C^*)\) 是可控的.
證明:
首先證明 (i)\(\Leftrightarrow\)(iii). "\(\Leftarrow\)": 輸入 \(u(t)\), 輸出 \(y(t)\) 和初始條件 \(x_0\) 的關系式為:
那么, \(x(0)\) 是否可由上式唯一確定僅取決於其前面的系數矩陣是否可逆. 因此, 我們不妨設 \(u(t) = 0\), 則 \(y(t)=C e^{A t} x(0)\). 於是
因為矩陣 \(\mathcal{O}\) 列滿秩, 所以上式存在唯一解 \(x(0)\), 即 \((C, A)\) 可觀.
"\(\Rightarrow\)": 用反證法. 假設 \((C, A)\) 可觀, 但可觀測矩陣 \(\mathcal{O}\) 列不滿秩, 即存在向量 \(x_0\) 使得 \(\mathcal{O} x_0 = 0\), 因此 \(CA^i x_0 = 0 (i\geq0)\). 取 \(x(0) = x_0\), 則 \(y = Ce^{At} x(0)\). 根據哈密頓-凱萊定理, 矩陣指數 \(e^{At}\) 可表為
將其帶入 \(y\) 可得
也就是說, \(x(0)\) 不能由 \(y(t) \equiv 0\) 來決定, 即系統不可觀, 矛盾.
((iii)中最后一句話解釋: 一個矩陣 \(A\) 的零空間是方程 \(Av = 0\) 的所有解 \(v\) 的集合)
(i)\(\Leftrightarrow\)(vii). 系統 (1) 和 (2) 的對偶系統為
可得 \((C, A)\) 可觀與 \((A^*, C^*)\) 可控等價.
(ii)\(\Leftrightarrow\)(vii). 將矩陣 \(A^*, C^*\) 帶入定理 1(ii) 即可. (定理 1 指的是上一篇文章 https://www.cnblogs.com/beta2187/p/B1726.html 中的定理 1, 下同)
(iv)\(\Leftrightarrow\)(vii). 由定理1(iv) 可得, \((A^*, C^*)\) 可控 \(\Leftrightarrow\) 矩陣 \([A^*-\lambda I\quad C^*]\) 行滿秩, 亦即 (其轉置) 矩陣 \(\binom{A-\lambda I}{C}\) 列滿秩.
(v)\(\Leftrightarrow\)(vii). 對對偶系統, 由定理1(v), \((A^*, C^*)\) 可控 \(\Leftrightarrow\) 對滿足 \(Ay = \lambda y\) 的 \(y\) 和 \(\lambda\), 有 \(y^*C^* \neq 0\), 即 \(Cy \neq 0\).
(vi)\(\Leftrightarrow\)(vii). 由定理1(vi), \((A^*, C^*)\) 可控 \(\Leftrightarrow\) 存在矩陣 \(F\) 使得 \(A^*+C^*F\) 的特征值可自由配置, 取 \(L = F^*\), 即其轉置矩陣 \(A + LC\) 的特征值可自由配置.
定義 5 如果存在 \(L\) 使得 矩陣 \(A + LC\) 穩定, 則稱系統 (1) 和 (2) 或矩陣對 \((C, A)\) 可檢測.
定理 4 下列命題等價:
- (i) \((C, A)\) 可檢測;
- (ii) 對所有滿足 \(\text{Re}\lambda\geq0\) 的特征值, 有 \(\binom{A-\lambda I}{C}\) 列滿秩;
- (iii) 對所有使得 \(Ax = \lambda x\) 和 \(\text{Re} \lambda \geq 0\) 成立的 \(\lambda\) 和 \(x\), 有 \(Cx = 0\);
- (iv) 存在矩陣 \(L\) 使得 \(A + LC\) 為 Hurwitz 矩陣;
- (v) \((A^*, C^*)\) 可鎮定.
證明
(下文中提到的定理 2指的是 https://www.cnblogs.com/beta2187/p/B1726.html 中的定理 2)
(i)\(\Leftrightarrow\)(v). 根據對偶系統和原系統的關系, 可知等價性.
(ii)\(\Leftrightarrow\)(v). 由定理 2(ii) 可知, \((A^*, C^*)\) 可鎮定 \(\Leftrightarrow\) 對所有滿足 \(\text{Re}\lambda\geq0\) 的特征值有 \([A^* - \lambda I \quad C^*]\) 行滿秩, 即 (其轉置) 矩陣 \(\binom{A-\lambda I}{C}\) 列滿秩.
(iii)\(\Leftrightarrow\)(v). 由定理 2(iii) 可知, \((A^*, C^*)\) 可鎮定 \(\Leftrightarrow\) 對所有使得 \(Ax = \lambda x\) 和 \(\text{Re} \lambda \geq 0\) 成立的 \(\lambda\) 和 \(x\) 有 \(x^*C^* \neq 0\), 即 \(Cx \neq 0\).
(iv)\(\Leftrightarrow\)(v). 由定理 2(iv) 可知, \((A^*, C^*)\) 可鎮定 \(\Leftrightarrow\) 存在矩陣 \(F\) 使得 \(A^*+C^*F\) 為 Hurwitz, 取 \(L = F^*\), 即其轉置矩陣 \(A + LC\) 也為 Hurwitz.
本文中的定義定理來自文獻 [1], 但在[1] 中沒有給出詳細證明過程.
參考文獻:
[1] Kemin Zhou, Robust and Optimal Control, PRENTICE HALL, Englewo o d Cliffs, New Jersey 07632.