線性時不變系統可鎮定 (stabilizable) 等價命題證明

考慮如下的線性時不變系統:

\begin{align} \dot{x} = Ax + Bu \\ y = Cx + Du \end{align}

*(注: 矩陣或向量上的 " * " 均代表轉置)*

定理 1 下列命題等價:

• (i) \((A, B)\) 可控;
• (ii) 對任意的 \(t\geq 0\), 矩陣 \(W_{c}(t):=\int_{0}^{t} e^{A \tau} B B^{*} e^{A^{*} \tau} d \tau\) 正定;
• 可控性矩陣 \(\mathcal{C}=\left[\begin{array}{lllll}{B} & {A B} & {A^{2} B} & {\ldots} & {A^{n-1} B}\end{array}\right]\) 行滿秩, 即 \(\langle A | I m B\rangle:=\sum_{i=1}^{n} \operatorname{Im}\left(A^{i-1} B\right)=\mathbb{R}^{n}\);
• 對所有的 \(\lambda \in \mathbb{C}\), 矩陣 \([A-\lambda I, B]\) 行滿秩;
• 設 \(\lambda\) 和 \(c\) 為矩陣 \(A\) 的任意特征值和相應的任意左特征向量, 即 \(x^{*} A=x^{*} \lambda\), 那么 \(x^{*} B \neq 0\);
• 通過選取適當的矩陣 \(F\), 矩陣 \(A+BF\) 的特征值可自由配置.

定義 2 對於一個非強迫系統 \(\dot{x} = Ax\), 如果 \(A\) 的所有特征值均位於左半開平面, 即 \(\text{Re}\lambda(A)<0\), 則該系統是穩定的. 具有此類性質的矩陣 \(A\) 稱為穩定矩陣或 Hurwitz 矩陣.

定義 3 若存在狀態反饋 \(u = Fx\) 使得系統 (1) 穩定, 即使得 \(A+BF\) 穩定, 則稱 (1) 或矩陣對 \((A,B)\) 可鎮定.

定理 2 下列命題等價:

• (i). \((A,B)\) 可鎮定;
• (ii) 對所有 \(\text{Re}\lambda \geq 0\), \([A-\lambda I\quad B]\) 行滿秩;
• (iii) 對滿足 \(x^*A = x^*\lambda\) 且 \(\text{Re}\lambda \geq 0\) 的所有 \(\lambda\) 和 \(x\), 有 \(x^*B\neq0\);
• (iv) 存在 \(F\) 使得 \(A+BF\) 為 Hurwitz.

證明:
(i)\(\Leftrightarrow\)(iv): "\(\Rightarrow\)": 若\((A,B)\)可鎮定, 則存在 \(F\) 使 \(A+BF\) 穩定, 即 \(A+BF\) 為 Hurwitz. "\(\Leftarrow\)": 由定義 2, \(\text{Re}\lambda(A+BF)<0\), 則 \(A+BF\) 穩定, 由定義 3 可知 \((A,B)\) 可鎮定.

(i)\(\Leftrightarrow\)(ii): "\(\Rightarrow\)": 系統 (1) 可鎮定當且僅當存在矩陣 \(F\) 使得所有\(\text{Re}\lambda(A+BF)<0\) \(\Leftrightarrow\) 特征方程不存在非負根 \(\Leftrightarrow\) 對任意 \(\lambda = \lambda(A)\geq0\), 有 \(\text{rank}[\lambda I - (A + BF)] = n\).

\[\text{rank}[\lambda I - (A + BF)] = \text{rank}\left( [\lambda I-A \quad B] \begin{bmatrix} I\\ -F \end{bmatrix}\right)\\ \leq \min \left\{ \text{rank}[\lambda I-A \quad B], \text{rank}\begin{bmatrix} I\\ -F \end{bmatrix} \right\}\\ \leq \text{rank}[\lambda I-A \quad B]. \]

於是有 \(\text{rank}[\lambda I-A \quad B] = n\)

預備知識: 設 \(\Phi \in \mathbb{R}^{n\times n}, \Psi \in \mathbb{R}^{n\times r}, \Omega \in \mathbb{R}^{q\times n}\), 則存在\(X \in \mathbb{R}^{r\times q}\) 使得

\[\text{rank}(\Phi - \Psi X \Omega) = n \Leftrightarrow \text{rank}(\Phi\quad \Psi) = \text{rank} \begin{bmatrix} \Phi \\ \Omega \end{bmatrix} = n. \]

[段廣仁等, 廣義線性系統分析與設計, 科學出版社, 2012, 引理 5.4.1]

"\(\Leftarrow\)": 對滿足 \(\text{Re} \lambda \geq 0\) 的任意復數 \(\lambda\), 選取\(\Phi_{n\times n} = A - \lambda I\), \(\Psi_{n\times r} = B\), \(\Omega_{n\times n} = -I_{n\times n}\), 於是存在 \(X_{r\times n} = F\) 使得: \(\text{rank} (A - \lambda I \quad B) = \text{rank} \binom{A - \lambda I}{-I_{n\times n}} = n\) \(\Leftrightarrow\) \(\text{rank} (A - \lambda I + BF) = \text{rank} (A - \lambda I + BF) = n\) \(\Rightarrow\) 矩陣 \(A+BF\) 不存在實部非負特征值, 即 \(A+BF\) 的特征值實部均小於零, 則 \((A,B)\) 可鎮定.
(注: 充分性和必要性中的 \(F\) 不一定是同一個)

(ii)\(\Leftrightarrow\)(iii): "\(\Rightarrow\)" 用反證法, 假設存在非零\(x_1\) 滿足\(x_1^*A = x_1^*\lambda\) 和\(\text{Re}\lambda \geq 0\), 但 \(x_1^*B = 0\), 則由 \(x_1^*A = x_1^*\lambda\) 可得 \(x_1^*(A - \lambda I) = 0\), 結合 \(x_1^*B = 0\) 可知, \(x_1^*(A - \lambda I\quad B) = 0\), 於是 \([A - \lambda I\quad B]\) 不滿秩, 與(ii)矛盾. "\(\Leftarrow\)" 用反證法, 假設對存在 \(\text{Re}\lambda \geq 0\) 使得 \([A-\lambda I\quad B]\) 行不滿秩, 則存在非零向量 \(x^*\) 使得 \(x^*[A - \lambda I\quad B] = 0\), 即 \(x^*A = x^*\lambda\) 且 \(x^*B = 0\), 矛盾.

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本文中的定義定理來自文獻 [1], 但在[1] 中只給出了定理1的詳細證明.
參考文獻:
[1] Kemin Zhou, Robust and Optimal Control, PRENTICE HALL, Englewo o d Cliffs, New Jersey 07632.

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