\(【定理內容】若\exists N_{0}，當n>N_{0}時，有a_{n}\leqslant b_{n},則lim_{n\to \infty}a_{n}\leqslant lim_{n\to\infty}b_{n}\)
（注意，不是數列極限的保號性）
\(說明，前提條件是從某項開始，所有項都滿足a_{n}\leqslant b_{n},即a_{n}不大於b_{n},對於序號相同的項,即小於或者等於\)
\(如同分數線，不大於100分，則100分，以及0分都符合條件，結論都成立\)
\(或者理解為，b_{n}不小於a_{n},條件相當於分數線為100分，那么等於100分，或者120分，都滿足條件。\)
【證明】
反證法。
\(假設lim_{n\to \infty}a_{n}>lim_{n\to\infty}b_{n}\)
\(設lim_{n\to \infty}a_{n}=a,lim_{n\to\infty}b_{n}=b\)
\(則依假設有：\quad a>b\)
\(設\epsilon=\frac{a-b}{2}\)
\(則\exists N_{1},當n>N_{1}時，|a_{n}-a|<\epsilon\)
\(則\exists N_{2},當n>N時_{2}，|b_{n}-b|<\epsilon\)
\(設N=max\{N_{0},N_{1},N_{2}\},則\)
\(當n>N時,有|a_{n}-a|<\epsilon,|b_{n}-b|<\epsilon\)
\(即\quad a-\epsilon<a_{n}<a+\epsilon\)
\(\quad\quad b-\epsilon<b_{n}<b+\epsilon\)
\(即\quad a-\frac{a-b}{2}<a_{n}<a+\frac{a-b}{2}\)
\(\quad\quad b-\frac{a-b}{2}<b_{n}<b+\frac{a-b}{2}\)
\(化簡如下\)
\(\frac{a+b}{2}<a_{n}<\frac{3a-b}{2}\)
\(\frac{3b-a}{2}<b_{n}<\frac{a+b}{2}\)
\(可得\quad b_{n}<a_{n}，矛盾\)
證畢
注意，下面結論不成立
\(若a_{n}<b_{n},則lim_{n\to\infty}a_{n}<lim_{n\to\infty}b_{n}\)
\(反例:-\frac{1}{n}<\frac{1}{n}\)
\(但是lim_{n\to\infty}-\frac{1}{n}=lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=1\)