今天在做題時巧遇了很多此類型的矩陣，出於更快解，對此進行學習。（感謝up主線帒楊）
1、認識ab矩陣
形如：主對角線元素都是a，其余元素都是b，我們稱之為ab矩陣（默認涉及即為n×n階）
2、求|A|
證明：
3、求高次冪
將矩陣A拆分成A=λE+B，矩陣B的高次冪 \(B^n\) 運用以下“二項式”公式易得：
一題：
4、秩
一題：【r(A)<n,|A|=0】
5、齊次方程組
一題：
6、特征值與特征向量
結合前面所學的求|A|更快計算|λE-A|，建議收藏本題並注意5:20處的小技巧。
tr(A)= $λ_{1}$ +...+ $λ_{n}$ = $a_{11}$ + $a_{22}$ +...+ $a_{nn}$
7、考研真題
（1）97真題
（2）16真題
定義：If P、Q可逆，PAQ=B ，則A和B等價。【快：r(A)=r(B)，則等價】
| $λ_{1}$ 、 $λ_{2}$ 、 $λ_{3}$ 符號 | 二次曲面f（ $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ ）=2形狀 |
|---|---|
| 3正（都相等） | 橢球面（球面） |
| 2正1負 | 單葉雙曲面 |
| 2正1零（正的相等） | 橢圓柱面（圓柱面） |
| 1正2負 | 雙葉雙曲面 |
| 1正1負1零 | 雙曲柱面 |
tr(A)= $λ_{1}$ +...+ $λ_{n}$ = $a_{11}$ + $a_{22}$ +...+ $a_{nn}$
（3）07真題
相似： \(P^{-1}AP=B\) , 合同： \(P^{T}AP=B\)（P可逆）
判定相似：若A與B有相同特征值且A與B都能相似對角化，則A與B相似
判定合同：（前提：A，B為實對稱矩陣）A與B有相同的正、負慣性指數或A與B特征值的正負個數相同
（4）14真題
\(A^{T}=A\) 一定可以對角化
（5）03真題
若A與B相似，A與B有相同的特征值
A可逆，A， \(A^{-1}\) ，\(A^{*}\) 特征向量相同