雖然不是什么有應用價值的定理，但是每次看到實對稱矩陣時總會有疑惑，現在記錄下來。
證明
設有實對稱矩陣$A$，它的特征值與對應的特征向量分別為$\lambda,x$，另外記$\overline{A},\overline{\lambda},\overline{x}$分別為它們對應的共軛復數（矩陣和向量是對每個元素共軛）。
首先有：
\begin{equation}\overline{x}^TAx = \overline{x}^T\overline{A}x = (\overline{A}^T\overline{x})^Tx = (\overline{A}\overline{x})^Tx = \overline{Ax}^Tx=\overline{\lambda x}^Tx=\overline{\lambda}\overline{x}^Tx\end{equation}
又有：
\begin{equation}\overline{x}^TAx = \overline{x}^T\lambda x = \lambda \overline{x}^T x\end{equation}
因為$(1),(2)$式相等，所以有：
$ (\overline{\lambda} - \lambda) \overline{x}^Tx = 0$
因為特征向量$x\ne 0$，所以$ \overline{x}^Tx>0$，因此有$ \overline{\lambda} = \lambda$。特征值為實數得證。