1 對稱矩陣
當矩陣中所有元素均為實數時，滿足 
時，該矩陣為對稱矩陣 
； 其特征值均為實數，特征向量相互正交。
特征值為實數證明如下：
，兩邊同時取共軛得 
，
，
由於 A 為實矩陣，
，由於 A 為對稱矩陣，兩邊轉置后得 
，
兩邊同時乘 x 得 
，
對 兩邊同時乘 
得 
，
對比 與 得 
，故 
為實數；
特征向量相互正交證明如下：
假設有兩特征向量滿足 
，
，
要證明兩向量正交，需要構造 
表達式，通過矩陣 A 可建立如下聯系：
，
，
由於特征值為實數且不相等， 
，
，故特征向量相互正交；
2 Hermitian 矩陣
在復平面上，向量 x 得長度定位為 
，
向量 x，y 正交定義為 
，
如果 
，該矩陣為復數域中的對稱矩陣，被稱為 Hermitian 矩陣，
；
由於實數域是復數域的一個子集，實數域中的對稱矩陣也是復數域中的 Hermitian 矩陣；Hermitian 矩陣的特征值為實數，特征向量相互正交。
特征值為實數證明如下：
，由於 
，c 為一復數，
，c 為一實數，
，
，
，
為特征向量的模長，該模長為一實數，且特征向量不為零使得 
，故特征值為實數；
特征向量相互正交證明如下：
假設有兩特征向量滿足 ，，
，
由於特征值為實數，
，由於 
，由於 
，
，兩特征向量正交；
當矩陣有充足的特征向量，矩陣 A 可被分解為 
，由於矩陣A為 Hermittan矩陣(或對稱矩陣)，其特征向量正交，將其歸一化后得 ：
，矩陣 A 被分解為 n 個 Rank 1 矩陣得線性和。
3 斜對稱矩陣
當矩陣中所有元素均為實數時，滿足 
時，該矩陣為對稱矩陣 
； 其特征值均為純虛數，特征向量相互正交。
特征值為純虛數證明如下：
與對稱矩陣特征值為實數證明類似，，，
，
兩邊轉置得 
， 兩邊同時乘 x 得 
，
對 兩邊同時乘 得 ，
對比 與 得 
，
由於特征向量不為零，有 
，故特征值為純虛數；
特征向量相互正交證明如下：
對稱矩陣特征向量相互正交證明類似，假設有兩特征向量滿足 ，，
要證明兩向量正交，需要構造 表達式，通過矩陣 A 可建立如下聯系：
，
，
由特征值不為零得 ，故特征向量相互正交；
4 Skew Hermittan 矩陣
當矩陣中元素包含復數時，如果 
，
，該矩陣為 Skew Hermittan 矩陣。其特征值為純虛數，特征向量正交。
由 
得 
為純虛數，
表示向量模長的平方，為實數，
在 Hermittan 矩陣中 ，故特征值為純虛數；
假設有兩特征向量滿足 ，，
，
，
由特征值不為零得 ，故特征向量相互正交；
5 酉矩陣（正交矩陣）
如果矩陣 A 中每列向量相互正交且為單位長度，如果矩陣中各元素均為實數時為正交矩陣，如果矩陣中存在復數為酉矩陣；
酉矩陣與正交矩陣性質基本一致，其證明過程也基本一致，下面給出酉矩陣性質及證明：
1）酉矩陣不改變向量點積與長度；
，
；
2）酉矩陣特征值絕對值為 1；
，由於性質 1）
，
；
3）酉矩陣特征向量正交；
假設 
，
，
，
由於 ，且 
為不同特征值，因此 
，故 
，特征向量正交；
參考資料 Linear Algebra And Its Applications Gilbert Strang