Cantor集
對[0,1]區間三等分, 去掉中間一個開區間, 然后對留下的兩個閉區間繼續三等分,去掉中間的開區間, 不斷做下去, 最后留下來的點集稱為Cantor三分集, 記為\(C\).
它的性質
(1) 分割點一定在Cantor集中,
(2) \(C\)的"長度"為0，去掉的區間長度和$$\sum{\infty}_{n=1}\frac{1}{3n}\cdot 2^{n-1}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{2}{3}}=1.$$
(3) \(C\)沒有內點
證明：對任意\(x\in C\), \(x\)必被含於在第\(n\)次時留下的\(2^n\)個長為\(1/3^n\)的互不相交的某個閉區間\(I^{(n)}_{i}\)中, $$\forall\varepsilon>0, 1/3^n<\varepsilon, I^{(n)}_{i}\subset B(x,\varepsilon),$$但由Cantor集的做法，要繼續三等分去掉中間的一個開區間, 從而\(B(x,\varepsilon)\)內至少有一點不屬於\(C\), 所以\(x\)不可能是\(C\)的內點.
(4) \(C\)中的點都是聚點, 從而沒有孤立點.
數的進制
十進制小數：相應於 對[0,1]十等分
二進制小數：相應於 對[0,1]二等分
說明：對應於[0,1]十等分的端點有兩種表示，如$$0.2000000...,~~~0.1999999...$$(十進制小數)
(5) \(C\)的基數為\(\aleph\),(利用三進制證明)
證明思路：把[0,1]區間中的點都寫成三進制小數, 則Cantor集的做法中去掉的點為小數位出現1的數的全體, 從而Cantor集為小數位只是0，2的點的全體，做對應
說明：三等分的端點有必要特殊考慮, 因為它有兩種表示, $$0.100000...=0.022222...,~~~0.200000...=0.122222...$$
對\(x\in C\), 令\(A=\{k|a_k=0\},\) 則\(A\subset\mathbb{N}_{+}.\)
對應關系\(x\to A\)構成了\(C\)到\(P(\mathbb{N}_{+})\)的一一映射.
第一章 集合與點集
第六節 點集間的距離
定義1.16 設\(E\subset\mathbb{R}^{n}\), \(f\)是定義在\(E\)上的實值函數, \(x_0\in E\), 若\(\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\) 使得\(x\in E\cap B(x_0,\delta)\)時候，\(|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.\) 稱為\(f\)在\(x_0\)點處連續.
注：若\(f\)在\(E\)上連續, 而\(E_0\subset E\), 則\(f\)在\(E_0\)連續.
定理1.22 若\(E_1,E_2\)是閉集, \(f\)定義於\(E_1\cup E_2\)上, 且分別在\(E_1,E_2\)上連續, 則\(f\)相對於\(E_1\cup E_2\)也一定連續.
證明：若\(x\in E_1\cup E_2\). 不妨設它為聚點, 因為\(E_1,E_2\)為閉集, 則\(E_1\cup E_2\)內任一以\(x_0\)為極限的點列\(\{y_k\}\)只能有兩種情況:
其一, 從某一項起, 全部\(y_k\)屬於\(E_1\)或\(E_2\)(相應\(x_0\in E_1\)或\(x_0\in E_2\).)容易證明.
其二, \(\{y_k\}\)由兩個分別屬於\(E_1,E_2\)的無窮子列組成, 此時, \(x_0\in E_1\cup E_2\), 因為$$\lim\limits_{x\to x_0, x\in E_1}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0,x\in E_2}=f(x_0),$$
因此\(\lim\limits_{k\to\infty} f(y_k)=f(x_0)\).
定理1.23 設\(f\)是\(\mathbb{R}^n\)中有界閉集\(E\)上的連續函數, 則
(1) \(f\)在\(E\)上有界
(2) \(f\)在\(E\)上取得最大值和最小值
(3) \(f\)在\(E\)上一致連續
定理1.24 設\(E\subset\mathbb{R}^n, f_1,f_2,\cdots\)是\(E\)上的連續函數列, 且\(k\to\infty\)時, \(\{f_k\}\)在\(E\)上一致收斂到函數\(f\), 則\(f\)在\(E\)上連續.
例20 對於任意的\(x_0\in\mathbb{R}^n, E\subset\mathbb{R}^n\), 定義\(x_0\)到\(E\)的距離為\(d(x_0,E)=\inf\{d(x_0,y)|y\in E\}\).
證明：(1)若\(E\)是閉集, 則存在\(y_0\in E\), 使得\(d(x_0,y_0)=d(x_0,E).\) 對於任意點集\(A, B\), 定義\(A, B\)之間的距離為\(d(A,B)=\inf\{d(x,y)|x\in A,y\in B\}.\)
證明：(2)若\(A\)和\(B\)都是閉集, 其中至少有一個有界, 則存在\(x_0\in A, y_0\in B\), 使得\(d(x_0,y_0)=d(A,B).\)
集合的簡單寫法：$${x\in E|f(x)>a}:=E(f>a).$$
定理1.25 若函數\(f\)在\(E\)上連續, 則對任意的實數\(a\), 存在開集\(G_a\subset\mathbb{R}^n\), 使得\(E(f>a)=G_a\cap E.\) 也存在開集\(H_a\subset\mathbb{R}^n\), 使得\(E(f<a)=H_a\cap E.\)
證明：對任意\(x\in E(f>a)\), 由於\(f\)在\(E\)上的點\(x\)連續, 必存在\(\delta=\delta(x,a)>0,\) 使得\(y\in E\cap B(x,\delta)\)時, \(f(y)>a.\)因此若令\(G_a=\bigcup_{x\in E(f>a)} B(x,\delta)\), 則\(G_a\)是開集, 並且\(E(f>a)=G_a\cap E.\)
同理可證, \(H_a\).
推論1 若函數\(f\)在\(E\)上連續, 則對任意的實數\(a\), 存在閉集\(F_a\subset\mathbb{R}^n\), 使得\(E(f\geq a)=F_a\cap E.\) 也存在開集\(K_a\subset\mathbb{R}^n\), 使得\(E(f\leq a)=K_a\cap E.\)
推論2 若\(f\)在開集\(E\)連續, 則對於任意實數\(a\), \(E(f>a)\)和\(E(f<a)\)是開集, 若函數\(f\)在閉集\(E\)上連續, 則對於任意實數\(a\), \(E(f\geq a), E(f\leq a)\)是閉集.
定理1.26 若\(f\)是\(\mathbb{R}^n\)的函數, 則對於任意實數\(a\), \(E(f>a), E(f<a)\)總是開集, 則\(f\)在\(\mathbb{R}^n\)上連續. (開集與開集的交是開集，閉集與閉集的交為閉集）
連續延拓定理
引理：若\(F_1,F_2\)是\(\mathbb{R}^n\)中的兩個不交的非空閉集, 則有連續函數\(f(x)\), 使得
(1) \(0\leq f(x)\leq 1(x\in\mathbb{R}^n)\);
(2) \(F_1=\{x: f(x)=1\}, F_2=\{x: f(x)=0\}.\)
證明：構造函數$$f(x)=\frac{d(x,F_2)}{d(x,F_1)+d(x,F_2)}, x\in\mathbb{R}^n.$$
定理1.27 連續延拓定理：若\(F\)是\(\mathbb{R}^n\)中的閉集, \(f(x)\)是\(F\)上的連續函數, 且\(|f(x)|\leq M(x\in F),\) 則存在\(\mathbb{R}^n\)上的連續函數\(g(x)\)滿足
證明：把\(F\)分成三個點集：\(A=\{x\in F:M/3\leq f(x)\leq M\},B=\{x\in F:-M\leq f(x)\leq -M/3\},C=\{x\in F\):其他\(\}.\)
並作函數$$g_1(x)=\frac{M}{3}\cdot\frac{d(x,B)-d(x,A)}{d(x,B)+d(x,A)},x\in\mathbb{R}^n.$$