我們定義一個函數$f$的支集$${\rm supp}f=\overline{\{x:f(x)\neq0\}}$$
數學分析中一個常見的例子，考慮如下函數$$f(x)=\left\{\begin{matrix}e^{-\frac{1}{x^2}}&x\neq0\\0&x=0\end{matrix}\right.$$我們來說明$f\in C^{\infty}(\mathbb R)$,事實上僅需說明$f$在$x=0$處無窮次連續可微即可.直接計算顯然有$$f'(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{2}{x^3}e^{-\frac{1}{x^2}}&x\neq0\\0&x=0\end{matrix}\right.$$不難用數學歸納法證明當$x\neq0$時有$f^{(n)}(x)=P_n\left(\frac{1}{x}\right)e^{-\frac{1}{x^2}}$,其中$P_n(t)$是$t$的多項式(事實上是$3n$次的),繼續可用數學歸納法證明$$f^{(n)}(0)=\lim_{x\to0}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(0)}{x}=0=\lim_{x\to0}f^{(n)}(x),\forall n\in\mathbb N$$
這說明$f(x)$確實在$\mathbb R$上是光滑的.\\
同樣的方法我們可以說明如下函數$$f(x)=\left\{\begin{matrix}e^{\frac{1}{x^2-a^2}}&|x|<a\\0&|x|\geq a\end{matrix}\right.$$也是$\mathbb R$上的光滑函數,並且顯然其支集${\rm supp}f$是緊集(有界閉集).\\
一般的,在復平面中設$a\in\mathbb C,r>0$,定義函數$$f(z)=\left\{\begin{matrix}e^{\frac{1}{|z-a|^2-r^2}}&z\in B(a,r)\\0&z\notin B(a,r)\end{matrix}\right.$$在整個復平面上是光滑的,並且具有緊支集.