連續性的定義
簡潔的表達.
- \(y = f(x)\)在\(x_0\)的鄰域內滿足\(\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0\), 則它在\(x_0\)處是連續的.
- 或\(\lim_{x \to x_0^+}f(x) = \lim_{x \to x_0^-}f(x)=f(x_0)\)
- 若\(x\)為多元向量, 則\(f(x)\)對應於多元函數, 它的連續性定義也是這個形式.
可微的定義
- 若\(\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)\), 其中\(A\)是一個與\(x\)無關的常數, \(o(\Delta x)\)是\(\Delta x \to 0\)時的無窮小, 則稱\(y = f(x)\)在\(x\)處是可微的.
- \(dy = A \Delta x\)稱為\(y\)的微分.
- 若\(x\)為多元向量, 則\(f(x)\)對應於多元函數, 它的(全)微分定義也是這個形式.
可微必連續, 連續不一定可微
可微是連續的一種特殊形式: 對連續來說, \(A\)不一定是一個常數, 在\(x^+, x^-\)兩個方向上可以不相等, 即, 不是一個常數.
這一點無論是對單元函數還是多元函數都是成立的.