證明思路來源於 DZYO 發的博客
Cayley-Hamilton 定理：
設 \(\textbf A\) 是 n階矩陣，\(f(\lambda)=\det(\lambda\textbf I-\textbf A)\)，為其特征多項式，則 \(f(\textbf A)=\textbf0\)。
證明：
考慮令 \(\textbf{B}=\lambda\textbf I-\textbf A,\textbf C=\textbf{B}^*\) ，那么有 \(\textbf{BC}=\textbf{CB}=\det(\lambda\textbf I-\textbf A)\textbf I=f(\lambda)\textbf I\)
考慮到 \(\textbf C_{i,j}\) 是關於實數 \(\lambda\) 的 \(n-1\) 次多項式，\(\textbf B_{i,j}\) 是關於實數 \(\lambda\) 的 \(1\) 次多項式，那么可以把 \(\textbf B,\textbf C\) 都拆分成矩陣多項式然后再乘起來，結果是一個 \(n\) 次的矩陣多項式 \(F(\lambda)=f(\lambda)\textbf I\)，注意到這個地方多項式乘法的時候需要計算 \(a_i\lambda^i\times b_j\lambda^j\)，因此該矩陣多項式是一個矩陣的多項式必須要帶入的矩陣 \(\textbf X\) 必須滿足 \(\textbf X\) 與 \(a_i,b_i\) 都可以交換才行。
根據上面得到的等式可以推出 \(F_i=f_i\textbf I\) ，由於 \(\textbf A\) 是可以和 \(a_i,b_i\) 交換的，因此可以將 \(\lambda\) 替換成 \(\textbf A\)
於是 \(F(\textbf A)=\textbf0=f(\textbf A)\textbf I\)
\(\Rightarrow f(\textbf A)=0\)
得證