函數與導數的關系

前言

當把函數與導數二者放置到一起時，許多高三學生都有點發懵，往往弄不清楚二者的關系，在我看來，函數應該是主題的核心內容，而導數僅僅是解決函數問題的一個工具，甚至都談不上是唯一的工具，只是有些形式復雜的函數，為了研究其圖像和性質，才不得不請出來的一個終極大法，對於比較簡單的函數，我們往往采用殺雞不用牛刀的策略來處理，以下舉例作以說明。

圖示說明

函數與導數關系圖例

graph RL A[ 導數
解決問題工具]-->B{ 函 數
研究內容
的核心} C[其他工具
數形結合]-->B

案例說明

【2017\(\cdot\) 西安模擬】已知函數\(f(x)=kx^2-lnx\)有兩個零點，則參數\(k\)的取值范圍為【\(\qquad\)】

$A.k >\cfrac{e}{2}$ $B.0< k<\sqrt{e}$ $C.k >\cfrac{\sqrt{2}e}{2}$ $D.0< k<\cfrac{1}{2e}$

【法1】：數形結合法[不完全分離參數法]，由於函數\(f(x)\)的定義域為\((0，+\infty)\)，

我們將函數有兩個零點的問題轉化為方程\(kx^2=lnx\)有兩個不同的實數根的問題，

再次轉化為函數\(y=kx^2\)與函數\(y=lnx\)的圖像有兩個不同的交點，

如圖設兩個函數的圖像相切於點為\((x_0，y_0)\)，

則有關系式\(\begin{cases}2kx_0=\cfrac{1}{x_0}\\kx_0^2=y_0\\y_0=lnx_0\end{cases}\)，

解得\(y_0=\cfrac{1}{2}，x_0=\sqrt{e}\)，即切點為\((\sqrt{e}，\cfrac{1}{2})\)，

再代入函數\(y=kx^2\)，求得此時的\(k=\cfrac{1}{2e}\)，

再結合函數\(y=kx^2\)的系數\(k\)的作用，可得兩個函數要有兩個不同的交點，

則\(k\in(0，\cfrac{1}{2e})\)。 故選\(D\).

【法2】：完全分離參數法，定義域為\((0，+\infty)\)，轉化為方程\(kx^2=lnx\)有兩個不同的實數根，

再轉化為\(k=\cfrac{lnx}{x^2}\)有兩個不同的實數根，

再轉化為函數\(y=k\)和函數\(g(x)=\cfrac{lnx}{x^2}\)的圖像有兩個不同的交點，

用導數研究函數\(g(x)\)的單調性，\(g'(x)=\cfrac{\cfrac{1}{x}\cdot x^2-lnx\cdot 2x}{(x^2)^2}=\cfrac{1-2lnx}{x^3}\)，

令\(1-2lnx>0\)，得到\(0< x<\sqrt{e}\)，令\(1-2lnx<0\)，得到\(x >\sqrt{e}\)，

即函數\(g(x)\)在區間\((0，\sqrt{e}]\)上單調遞增，在\([\sqrt{e}，+\infty)\)上單調遞減，

故\(g(x)_{max}=g(\sqrt{e})=\cfrac{1}{2e}\)，

作出函數\(g(x)\)和函數\(y=k\)的簡圖，由圖像可得\(k\)的取值范圍是\(k\in(0，\cfrac{1}{2e})\)。 故選\(D\).

解后反思：解法一可以認為是沒有用導數的思路，只是在處理曲線和曲線相切時的切線時才不得不用導數這個工具。解法二大大方方的采用了導數，為什么要用導數呢，不用導數工具要研究新產生的函數\(g(x)\)的圖像和性質，只能是瞎蒙，二者相比較，我們也就能清楚定位導數的工具地位了，它是為了研究更復雜形式的函數性質而生的。

【2019屆高三理科函數與方程課時作業第16題改編】已知函數\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x^2-2x，x\ge 0}\\{-x^2-2x，x<0}\end{array}\right.\)，若方程\(f(x)=a\)恰有\(3\)個不同的解，求\(a\)的取值范圍。

分析：轉化為函數\(y=f(x)\)和函數\(y=3\)的圖像恰有\(3\)個不同的交點，

做出兩個函數的圖像，由圖像可知，要使其有\(3\)個不同的交點，

只需要\(-1<a<1\)，故\(a\in (-1，1)\)。

解后反思：本題目就沒有用導數的方法求解；