函数与导数的关系

前言

当把函数与导数二者放置到一起时，许多高三学生都有点发懵，往往弄不清楚二者的关系，在我看来，函数应该是主题的核心内容，而导数仅仅是解决函数问题的一个工具，甚至都谈不上是唯一的工具，只是有些形式复杂的函数，为了研究其图像和性质，才不得不请出来的一个终极大法，对于比较简单的函数，我们往往采用杀鸡不用牛刀的策略来处理，以下举例作以说明。

图示说明

函数与导数关系图例

graph RL A[ 导数
解决问题工具]-->B{ 函 数
研究内容
的核心} C[其他工具
数形结合]-->B

案例说明

【2017\(\cdot\) 西安模拟】已知函数\(f(x)=kx^2-lnx\)有两个零点，则参数\(k\)的取值范围为【\(\qquad\)】

$A.k >\cfrac{e}{2}$ $B.0< k<\sqrt{e}$ $C.k >\cfrac{\sqrt{2}e}{2}$ $D.0< k<\cfrac{1}{2e}$

【法1】：数形结合法[不完全分离参数法]，由于函数\(f(x)\)的定义域为\((0，+\infty)\)，

我们将函数有两个零点的问题转化为方程\(kx^2=lnx\)有两个不同的实数根的问题，

再次转化为函数\(y=kx^2\)与函数\(y=lnx\)的图像有两个不同的交点，

如图设两个函数的图像相切于点为\((x_0，y_0)\)，

则有关系式\(\begin{cases}2kx_0=\cfrac{1}{x_0}\\kx_0^2=y_0\\y_0=lnx_0\end{cases}\)，

解得\(y_0=\cfrac{1}{2}，x_0=\sqrt{e}\)，即切点为\((\sqrt{e}，\cfrac{1}{2})\)，

再代入函数\(y=kx^2\)，求得此时的\(k=\cfrac{1}{2e}\)，

再结合函数\(y=kx^2\)的系数\(k\)的作用，可得两个函数要有两个不同的交点，

则\(k\in(0，\cfrac{1}{2e})\)。 故选\(D\).

【法2】：完全分离参数法，定义域为\((0，+\infty)\)，转化为方程\(kx^2=lnx\)有两个不同的实数根，

再转化为\(k=\cfrac{lnx}{x^2}\)有两个不同的实数根，

再转化为函数\(y=k\)和函数\(g(x)=\cfrac{lnx}{x^2}\)的图像有两个不同的交点，

用导数研究函数\(g(x)\)的单调性，\(g'(x)=\cfrac{\cfrac{1}{x}\cdot x^2-lnx\cdot 2x}{(x^2)^2}=\cfrac{1-2lnx}{x^3}\)，

令\(1-2lnx>0\)，得到\(0< x<\sqrt{e}\)，令\(1-2lnx<0\)，得到\(x >\sqrt{e}\)，

即函数\(g(x)\)在区间\((0，\sqrt{e}]\)上单调递增，在\([\sqrt{e}，+\infty)\)上单调递减，

故\(g(x)_{max}=g(\sqrt{e})=\cfrac{1}{2e}\)，

作出函数\(g(x)\)和函数\(y=k\)的简图，由图像可得\(k\)的取值范围是\(k\in(0，\cfrac{1}{2e})\)。 故选\(D\).

解后反思：解法一可以认为是没有用导数的思路，只是在处理曲线和曲线相切时的切线时才不得不用导数这个工具。解法二大大方方的采用了导数，为什么要用导数呢，不用导数工具要研究新产生的函数\(g(x)\)的图像和性质，只能是瞎蒙，二者相比较，我们也就能清楚定位导数的工具地位了，它是为了研究更复杂形式的函数性质而生的。

【2019届高三理科函数与方程课时作业第16题改编】已知函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x^2-2x，x\ge 0}\\{-x^2-2x，x<0}\end{array}\right.\)，若方程\(f(x)=a\)恰有\(3\)个不同的解，求\(a\)的取值范围。

分析：转化为函数\(y=f(x)\)和函数\(y=3\)的图像恰有\(3\)个不同的交点，

做出两个函数的图像，由图像可知，要使其有\(3\)个不同的交点，

只需要\(-1<a<1\)，故\(a\in (-1，1)\)。

解后反思：本题目就没有用导数的方法求解；