概念引入
如圖所示，已知函數\(y=f(x)\)，給定其上的兩個點\(A(x_0，y_0)\)和\(B(x_0+\Delta x，y_0+\Delta y)\)，
上圖備注：直線\(AB\)，為函數的割線；
則經過這兩個點的直線\(AB\)，我們稱為函數的割線，我們稱下列的表達式
為函數在\((x_0，x_0+\Delta x)\)上的平均變化率，也就是割線的斜率\(k=\cfrac{\Delta y}{\Delta x}\)，
當點\(B\)沿着函數圖像向點\(A\)靠近時，即\(\Delta x\rightarrow 0\)時，割線就變成了切線，也就是平均變化率變成了瞬時變化率。
如下的數學表達式，
我們稱為函數在點\(x=x_0\)處的瞬時變化率，如果這個極限存在，記為常數\(k\)，就稱函數在這一點有導數，並稱之為函數在點\(x=x_0\)的導數，
記作\(f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}\)，或者記作\(y'|_{x=x_0}\)或者\(\cfrac{df(x_0)}{dx}\)
廓清認知
1、函數在某一點處的導數，是一個常數，其對應的形為函數在這一點的切線的斜率。即
若切點坐標是\((x_0，y_0)\)，則切線方程為：$$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$$
2、函數在某一點有導數的前提條件是函數在這一點的極限[即左極限和右極限都存在且相等]要存在，初高中階段所學的函數中有一個函數\(y=|x|\)，在\(x=0\)處就沒有導數，即函數\(y=|x|\)在\(x=0\)處不可導，粗淺的可以這樣理解，凡是函數圖像上有尖角的地方就不可導，[詳細的原因是函數在這一點處的左右導數不相等。]
3、導數與幾何、代數、物理都有關聯，比如在幾何上可以求在某點處的切線斜率；在代數上可以求瞬時變化率；在物理上可以求速度和加速度(位移對時間的導數是速度，速度對時間的導數是加速度)；
4、求導和求不定積分是一對互逆的運算。
5、對函數而言，連續不一定可導，但可導一定連續。比如函數\(y=|x|\)，故函數在某個區間上連續是函數可導的必要不充分條件，因此我們給函數求導時往往需要先要求函數連續。在目前的高中教學實踐中，題目所給的函數基本都是連續的，所以基本上都是函數拿到手就直接求導，也不判斷函數是否連續，就是在個別判斷性的題目中需要注意一下。
6、過函數上某一定點的割線的極限是函數在這一點處的切線，割線的斜率的極限就是切線的斜率。
7、我們在初中定義直線和圓(圓是非常特殊的封閉圖形)相切時是利用交點的個數，
當二者只有一個交點時，就一定相切；當二者相切時必然只有一個交點。
但是當我們的研究范圍和方法變化后，我們利用割線的極限來定義切線，就得注意打破這一點，
- 當直線和曲線相切時，不一定只有一個交點，也可能有無數個交點，
比如直線\(y=1\)和曲線\(y=sinx\)，二者相切，有無數個交點。
- 當直線和曲線只有一個交點時，不一定是相切的，也可能相交，
比如直線\(x=1\)和拋物線\(y=(x-1)^2\)只有一個交點，但此時二者是相交的，不是相切的。
上圖演示的是，圓的割線的極限位置就是切線；
8、函數的導數是個常數，記作\(y'|_{x=x_0}\)或$$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
而導函數是個函數，是個變量，記作\(y'|_{x}\)或$$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
9、用定義法可以求函數的導數和導函數，
-
比如求函數\(f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{x}}\)在\(x=1\)處的導數；
-
比如求函數\(f(x)=x^3-3x^2+1\)的導函數；
10、常常利用函數的導數是常數設置題目，如已知函數\(f(x)=x^2+2f'(2)x+3\)，求函數的解析式[1]
11、實際問題中的導數的意義：在不同的實際問題中，導數的意義是不相同的。
比如：功率是功關於時間的導數；速度是路程關於時間的導數；
加速度是速度關於時間的導數；線密度是質量關於長度的導數；
邊際成本是成本關於產量的導數；氣球的膨脹率是氣球半徑關於體積的導數。
12、求函數的導數的定義法應用舉例：
分析：\(f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)
為便於表述和計算，記\(f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{x}}\)，
則\(\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\)\(=\cfrac{\cfrac{1}{\sqrt{1+\Delta x}}-1}{\Delta x}\)
\(\hspace{3em}=\cfrac{\cfrac{1-\sqrt{1+\Delta x}}{\sqrt{1+\Delta x}}}{\Delta x}\)\(=\cfrac{1-\sqrt{1+\Delta x}}{\Delta x\cdot \sqrt{1+\Delta x}}\)
\(\hspace{3em}=\cfrac{(1-\sqrt{1+\Delta x})\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}{\Delta x\cdot \sqrt{1+\Delta x}\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}\)
\(\hspace{3em}=\cfrac{-\Delta x}{\Delta x\cdot \sqrt{1+\Delta x}\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}\)
\(\hspace{3em}=\cfrac{-1}{\sqrt{1+\Delta x}\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}\)
則\(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{-1}{\sqrt{1+\Delta x}\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}\)\(=-\cfrac{1}{2}\)。
補遺：用公式法求解導數，由於\(y=\cfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}\)，則\(y'=-\cfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1}\)，
當\(x=1\)時，\(y'|_{x=1}=-\cfrac{1}{2}\cdot 1^{-\frac{1}{2}-1}=-\cfrac{1}{2}\).
13、求函數的導數、導函數的方法有定義法和公式法，使用定義法可以幫助我們理解這些公式的來源和正確性。但在后續的學習中，我們一般不用定義法求函數的導數。
14、求導公式
| 原函數 | 導函數 | 原函數 | 導函數 |
|---|---|---|---|
| \(f(x)=C\)(\(C\)為常數) | \(f'(x)=0\) | \(f(x)=x^{\alpha}\)(\(\alpha\)為常數) | \(f'(x)=\alpha\cdot x^{\alpha-1}\)需記憶：\(x'\)\(=\)\(1\)，\(\sqrt{x}'\)\(=\)\((x^{\frac{1}{2}})'\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\)\(x^{-\frac{1}{2}}\)\(=\)\(\cfrac{1}{2\sqrt{x}}\)，\((x^{-1})'\)\(=\)\(-\cfrac{1}{x^2}\)； |
| \(f(x)=a^x\)(\(a\)為常數) | \(f'(x)=a^x\cdot\ln a\)特例:\((e^x)'=e^x\)； | \(f(x)=log_ax\)(\(a\)為常數) | \(f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot lna}\)特例:\((\ln x)'=\cfrac{1}{x}\) |
| \(f(x)=\sin x\) | \(f'(x)=\cos x\) | \(f(x)=\cos x\) | \(f'(x)=-\sin x\) |
15、導數的四則運算法則：
加法：\([f(x)+ g(x)]'=f'(x)+ g'(x)\)；
減法：\([f(x)- g(x)]'=f'(x)- g'(x)\)；
乘法：\([f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)；\)備注特例：\([k\cdot f(x)]'\)\(=\)\(k\)\(\cdot\)\(f'(x)\)(\(k\)為常數)
除法：\([\cfrac{f(x)}{g(x)}]'=\cfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}\)
復合函數的求導練習；
16、導數的計算原則和方法
-
計算原則：先化簡解析式，使之變成能用八個求導公式[即求導公式]求導的和、差、積、商的形式[即求導法則]，然后求導；
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具體方法如下：
①.連乘積的形式：先展開化簡為多項式的形式，再求導；
②.分式形式：觀察函數的結構特征，考慮化為整式函數或部分分式形式的函數，再求導；
③.對數形式：先化為和、差形式，再求導；
④.根式形式：先化為分數指數冪的形式，再求導；
⑤.三角形式：先利用三角公式化為和或差的形式，再求導；
典例剖析
①\(y=(2x^2-1)(3x+1)\)；
解：首先將連乘積的形式展開化簡為多項式的形式，
得到\(y=6x^3+2x^2-3x-1\)，故\(y'=18x^2+4x-3\)；
②\(f(x)=\cfrac{\sqrt{x}+x^5+\sin x}{x^2}\)
解：\(f(x)=x^{-\frac{3}{2}}+x^3+\cfrac{\sin x}{x^2}\)，
則\(y'=-\cfrac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}+3x^2+\cfrac{\cos x\cdot x^2-\sin x\cdot (2x)}{x^4}\)
\(=-\cfrac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}+3x^2+\cfrac{x\cos x-2\sin x}{x^3}\)
③\(g(x)=-\sin\cfrac{x}{2}(1-2\cos^2\cfrac{x}{4})\)
解：首先化簡為\(g(x)=-\sin\cfrac{x}{2}\cdot (-\cos\cfrac{x}{2})=\cfrac{1}{2}\sin x\)，
則\(g'(x)=\cfrac{1}{2}\cos x\).
④\(h(x)=\ln(2x-5)\)
解：\(h'(x)=\cfrac{1}{2x-5}\cdot (2x-5)'=\cfrac{2}{2x-5}\)
⑤\(m(x)=\cfrac{1}{1-\sqrt{x}}+\cfrac{1}{1+\sqrt{x}}\)
解：先通分化簡為\(m(x)=\cfrac{2}{1-x}\)，
則\(m'(x)=2\cdot \cfrac{0-1\cdot (-1)}{(1-x)^2}=\cfrac{2}{(1-x)^2}\)
⑥\(y=e^{-3x}-1\)
解：\(y'=-3\cdot e^{-3x}\)；
⑦\(f(x)=ln\cfrac{x-1}{x+1}\)
解：\(f(x)=ln(x-1)-ln(x+1)\)，
則\(f'(x)=\cfrac{1}{x-1}\cdot 1-\cfrac{1}{x+1}\cdot 1\)
\(=\cfrac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\cfrac{2}{(x-1)(x+1)}\)
分析：由題可知，\(f(2)=2\times 3+1=7\)，\(f'(2)=3\)，故\(f(2)+f'(2)=10\);
分析：回顧導數的定義式，$$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
變形如下，由於\(\cfrac{f(-\Delta x)-f(\Delta x)}{\Delta x}\)
\(=\cfrac{-[f(0)-f(0-\Delta x)]-[f(0+\Delta x)-f(0)]}{\Delta x}\)
\(=\cfrac{-[f(0)-f(0-\Delta x)]}{\Delta x}+\cfrac{-[f(0+\Delta x)-f(0)]}{\Delta x}\)
故\(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{f(-\Delta x)-f(\Delta x)}{\Delta x}\)
\(=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{-[f(0)-f(0-\Delta x)]}{\Delta x} +\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{-[f(0+\Delta x)-f(0)]}{\Delta x}\)
\(=-f'(x)|_{x=0}-f'(x)|_{x=0}=-(2e^{2x}+3)|_{x=0}-(2e^{2x}+3)|_{x=0}=-10\)
分析：令\(g(x)=(x+1)(x+2)\cdots (x+2013)\)，則\(f(x)=x\cdot g(x)\)，
則\(f'(x)=g(x)+x\cdot g'(x)\)，故\(f'(0)=g(0)+0\cdot g'(0)=1\times 2\times 3\times \cdots \times 2013\)；
分析：就是利用函數的導數是個常數，給函數求導得到，
\(f'(x)=2x+2f'(2)\)，令\(x=2\)，解得\(f'(2)=-4\)，
故函數的解析式為\(f(x)=x^2-8x+3\)。 ↩︎