[筆記] 高數筆記

函數極限

設函數 \(f(x)\) 在點 \(x_0\) 的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數 \(A\) ，對於任意給定的正數 \(\varepsilon\)（無論它多么小），總存在正數 \(\delta\)，使得對於 \(0<|x-x_0|<\delta\)，均有 \(f(x)-A<\varepsilon\)，那么常數 \(A\) 就叫做函數 \(f(x)\) 當時 \(x\rightarrow x_0\) 的極限，記作

\[\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=A \]

夾逼定理：求函數的極限時，我們可以通過上界和下界兩個函數去夾某個函數 \(f(x)\) ；如

\[\sin(x)<x<\tan(x)\\ \Rightarrow \frac{\sin(x)}{x}<\frac{\sin(x)}{\sin(x)}=1,\frac{\sin(x)}{x}>\frac{\sin(x)}{\tan(x)} =\cos(x)\\ \Rightarrow \lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1 \]

導數與斜率

斜率：對於一次函數 \(y=kx+b\) ，\(k\) 即為斜率；

導數：\(f’(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\) ，也可記做 \(\frac{{\rm d} x}{{\rm d} y}\)

導數存在性：從左側與右側逼近極限相同時才可以定義導數 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0^+}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to 0^-}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)

導數表：

導數運算法則：

\[(u \pm v)' = u' \pm v'\\ (uv)'= u'v + v'u\\ (\frac uv)'=\frac{(u'v-v'u)}{v^2}\\ (c \cdot f(x))'=c \cdot f'(x) \\ (f(g(x)))'=f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

高階導數：一階導函數的導數稱為二階導數，二階以上的導數可由歸納法逐階定義。二階和二階以上的導數統稱為高階導數。從概念上講，高階導數可由一階導數的運算規則逐階計算。

\(f''(x_0)=\lim \limits_{\Delta x\to 0} \frac{f'(x+x_0)-f'(x_0)}{\Delta x}=\lim \limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+2\Delta x)-2f(x_0+\Delta x)+f(x_0)}{\Delta x ^2}\)，記做 \(\frac{\mathrm{d}^2 y }{\mathrm{d}x^2}\) 。

一階導描述函數增減性，函數極值點一階導為 \(0\) ；二階導描述函數的凹凸性。

自然對數\(e\)：

\(e=\lim\limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n=2.718281828459\cdots\)

\((e^x)'=e^x,(\ln(x))'=\frac{1}{x}\)

洛必達法則：

若 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \(a\) 點處為 \(0\) ，即 \(0/0\) 類型

\(\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a} \frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)

牛頓迭代法：

求解 \(f(x)=0\) ：隨機一個初始點，對於當前點求導，計算與 \(x\) 軸交點作為下一次的 \(x_{next}\) ，即

\[x_{next}=x-\frac{f(x)}{f'(x)} \]

當 \(x<eps\) 終止。

對於大部分函數有效；有些函數會失效，如 \(f(x)=\frac{1}{x}\) (沒有 \(0\) 點)；\(f(x)=\sqrt{|x|}\) （來回橫跳）

積分

定積分

\(S=\int_{a}^b f(x)\mathrm{d}x\)

黎曼積分，黎曼和： \(S=\lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{k=1}^n f(k)\times (x_k-x_{k-1})\)
這樣我們可以方便的求定積分。

\[\begin{aligned} \int_0^cx^2\mathrm{d}x &=\lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{k=1}^n (k\frac{c}{n})^2 \cdot \frac{c}{n}\\ &=\lim\limits_{n\to \infty} (\frac{c}{n})^3 \sum\limits_{k=1} k^2\\ &=\frac{c^3\cdot n\cdot (n+1) \cdot (2n+1)}{n^3\cdot 6}\\ &=\frac{c^3(2n^3-3n^3+n)}{6n^3}\\ &=\frac{c^3}{3}\\ \int_0^c x^n\mathrm{d}x &=\frac{c^{n+1}}{n+1} \end{aligned} \]

積分與微分的關系：

\[\begin{aligned}\\ \int_a^b f'(x)\mathrm{d}x &= \lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{0\leq k<n}f'(x_k)\mathrm{d}x\\ &=\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{0\leq k<n}\frac{f(x_{k+1})-f(x_k)}{x_{k+1}-x_k}(x_{k+1}-x_k)\\ &=\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{0\leq k<n} f(x_{k+1})-f(x_k)\\ &=\lim\limits_{n \to \infty}f(x_{n-1})-f(x_0)\\ &=f(b)-f(a)\\ &=f(x)|_a^b \end{aligned}\\ \]

即牛頓-萊布尼茨公式。

自適應辛普森積分法

詳見

inline double f(double x) {}
inline double simpson(double l,double r) 
	{return (f(l)+4*f((l+r)/2)+f(r))*(r-l)/6;}
inline double integral(double l,double r,double ans) {
	register double md=(l+r)/2;
	register double LL=simpson(l,md),RR=simpson(md,r);
	if(fabs(LL+RR-ans)<=15*eps) return LL+RR-(LL+RR-ans)/15;
	return integral(l,md,LL)+integral(md,r,RR);
}

integral(l,r,simpson(l,r));

不定積分

\[\int f(x)\mathrm{d}x=g(x)+c \]

積分表：

積分與無窮向量

對於一個函數 \(f(x)\) 可以理解為一個無窮維的向量，每個點的函數值是一個維度，那么兩個函數 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的內積就可以理解為 \(\int f(x)g(x)\mathrm {d}x\)

函數正交基：

對於線性空間的一組正交基，需要滿足對於任意兩個基向量 \(A,B\) 有 \(A\cdot B=0\)

空間中一個點 \(x\) 在正交基 \({A}\) 上的坐標為 \(\frac{A\cdot x}{A\cdot A}\)

施密特正交化：

大致就是如果兩個向量 \(A\cdot B\ !=0\) ，我們可以讓 \(B'=B-\frac{|B|\cos<A,B>}{|A|}A\) 得到與 \(A\) 正交的向量 \(B'\) 。

函數最優化

給定一多元函數 \(f(x)→R\)，\(x\) 為多個參數組成的向量，求 \(f(x)\) 最小值以及尋找使得函數值最小的向量 \(x^{*}\)

迭代法（就是爬山算法）：初始隨機一個點 \(a\)，隨機一方向 \(d\) ，找一 \(\lambda\) 使 \(f(x+\lambda d)\) 變小，不斷重復。

若 \(f(x)\) 存在導數，則有更好的方法：

偏導：對於二元函數 \(f(x,y)\) ，在 \((x0,y0)\) 處固定 \(y\) 不變移動 \(x\) ，可以得到一個單變量函數 \(g(x)\) ，同理固定 \(x\) 不變可以得到 \(h(y)\)；此時可以定義某一個方向的導數 \(\frac{\partial f}{\partial x}\) ，\(\frac{\partial f}{\partial y}\)

梯度：\(\nabla f(x,y)=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})\)

那么 \(f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y,|(\Delta x,\Delta y)|\to 0且為定值\) 。注意到后面的部分實際是一個點積，此時顯然 \((\Delta x,\Delta y)\) 與 \((\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})\) 共線時 \(f(x+\Delta x,y+\Delta y)\) 有最大值。

函數極值條件：函數取極值時一定要求切線水平（導數為 \(0\) ）；多元函數體現為各個方向偏導數均為 \(0\) （必要不充分條件，比如鞍點：\(y=x^3,z=x^2-y^2\) ）。

無約束函數極值

我們可以直接帶入偏導數為 \(0\) 的極值條件解方程。

例:

求 \(f(x)=(x_1-x_2-2)^2+(x_2-1)^2\) 的最小值。

\(\nabla f(x)=(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2})=(2(x_1-x_2-2),-2(x_1-x_2-2)+2(x_2-1))=(0,0)\)

拉格朗日乘數法

設給定多元函數 \(f(x)\) 和附加條件 \(\varphi (x)=0\) ，\(x\) 為向量，為尋找 \(z=f(x)\) 在附加條件下的極值點，**構造拉格朗日函數 \(L(x,\lambda)=f(x)+\lambda\varphi(x)\) **，為關於 \(x\) 向量與 \(\lambda\) 向量的二元函數。

此時有 \(\min\limits_{x} f(x)=\min\limits_{x}\{ \max\limits_{\lambda}(L(x,\lambda)\}=\min\limits_{x}\{\max\limits_{\lambda}(f(x)+\lambda\varphi(x))\}\)

理解：首先我們要符合 \(\varphi(x)=0\) ，否則當 \(\lambda\to \infty\) 是 \(\min\limits_{x}\{ \max\limits_{\lambda}(L(x,\lambda)\} \to \infty\) ，一定不是最終答案；然后在符合條件的函數中取個最值。

求解： \(f(x)\) 為最優的必要條件是拉格朗日函數 \(L\) 梯度為 \(0\) ：\(\left\{ \begin{matrix} \nabla_x L(x,\lambda)=0\\ \nabla_\lambda L(x,\lambda)=0\\ \end{matrix} \right.\)

例：

求 \((x,y,z)\) 使得 \((x-4)^2+y^2+z^2\) 最小，並且 \(x+y+z=3, 2x+y+z=4\)

多項式逼近

泰勒展開

\(f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + a_3(x - x_0)^3 + ...\)

通常只關心 \(x_0=0\) 處的取值，得到麥克勞林公式：\(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots=\sum\limits_k a_k x^k\)

結論：對於大部分常見的好函數，這種展開都是存在的，而且是唯一的，並且對於全體實數全部成立的。

計算方法：\(f^{(n)}=\sum\limits_{k\geq n} \frac{k!}{(k-n)!}a_k x^{k-n},a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\)

常見泰勒級數：

\[\begin{aligned}\\e^x&=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} &x\in(-\infty,+\infty)\\\ln(x+1)&=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1} &x\in(-1,1]\\\sin(x)&=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} &x\in (-\infty,+\infty)\\\cos(x)&=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n!}x^{2n} &x\in (-\infty,+\infty)\\\frac{1}{1-x}&=\sum\limits_{n=0}^\infty x^n &|x|<1\\\frac{1}{1+x}&=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^nx^n &|x|<1\\\end{aligned}\\ \]

歐拉公式

\(e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)\) （可以由上面的展開式看出）

特別地 \(e^{i\pi}=-1\)

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2020.01.24