【高數筆記】雅可比矩陣

本文轉載自查看原文 2020-09-25 15:24 599

雅可比矩陣可以表示各種變換的局部變化之間的關系

比如對於 $\left\{\begin{matrix} x=rcos\theta \\y=rsin\theta \end{matrix}\right.$ ，這是一個由 $\begin{bmatrix} r\\\theta \end{bmatrix}$ 到 $\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}$ 的變換

雅可比矩陣 $J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} &\frac{\partial x}{\partial \theta } \\ \frac{\partial y}{\partial r} &\frac{\partial y}{\partial \theta } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\theta & -rsin\theta \\ sin\theta &rcos\theta \end{bmatrix}$

兩個坐標系中的局部變化滿足：

$\begin{bmatrix} dx\\dy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\theta & -rsin\theta \\ sin\theta &rcos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dr \\d\theta \end{bmatrix}$

對於一個足夠小的局部，是可以看成變換在這個局部是線性的

則有： $dxdy=|J|drd\theta =rdrd\theta$

值得注意的是，線性變化中雅可比矩陣的值可以代表整個變化，包括局部的變化規律

而非線性變化中雅可比矩陣的函數只能代表局部變化，不能表示整個變化

作者：star_082c
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來源：簡書
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