Jacobian矩陣
1. Jacobian
在向量分析中, 雅可比矩陣是一階偏導數以一定方式排列成的矩陣, 其行列式稱為雅可比行列式. 還有, 在代數幾何中, 代數曲線的雅可比量表示雅可比簇：伴隨該曲線的一個代數群, 曲線可以嵌入其中. 它們全部都以數學家卡爾·雅可比(Carl Jacob, 1804年10月4日－1851年2月18日)命名；英文雅可比量”Jacobian”可以發音為[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən].
雅可比矩陣
雅可比矩陣的重要性在於它體現了一個可微方程與給出點的最優線性逼近. 因此, 雅可比矩陣類似於多元函數的導數.
雅可比矩陣定義： 雅可比矩陣定義為向量對向量的微分矩陣
假設\(F\): \({R_n} \to {R_m}\)是一個從歐式n維空間轉換到歐式m維空間的函數. 這個函數由m個實函數組成: y1(x1,…,xn), …, ym(x1,…,xn). 這些函數的偏導數(如果存在)可以組成一個m行n列的矩陣, 這就是所謂的雅可比矩陣：
此矩陣表示為：
-
，或者 
這個矩陣的第i行是由梯度函數的轉置yi(i=1,…,m)表示的.
如果p是Rn中的一點，F在p點可微分，那么在這一點的導數由JF(p)給出(這是求該點導數最簡便的方法)。在此情況下，由JF(p)描述的線性算子即接近點p的F的最優線性逼近，x逼近於p
例子
由球坐標系到直角坐標系的轉化由F函數給出:R × [0,π] × [0,2π] → R3
此坐標變換的雅可比矩陣是
![J_F(r,\theta,\phi) =\begin{bmatrix}\frac{\partial x_1}{\partial r} & \frac{\partial x_1}{\partial \theta} & \frac{\partial x_1}{\partial \phi} \\[3pt]\frac{\partial x_2}{\partial r} & \frac{\partial x_2}{\partial \theta} & \frac{\partial x_2}{\partial \phi} \\[3pt]\frac{\partial x_3}{\partial r} & \frac{\partial x_3}{\partial \theta} & \frac{\partial x_3}{\partial \phi} \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \sin\theta \cos\phi & r \cos\theta \cos\phi & -r \sin\theta \sin\phi \\\sin\theta \sin\phi & r \cos\theta \sin\phi & r \sin\theta \cos\phi \\ \cos\theta & -r \sin\theta & 0 \end{bmatrix}.](/image/aHR0cDovL2ltZy5iaW1nLjEyNi5uZXQvcGhvdG8vNDVtY1IyV2xES3A5RmJtVFlDVGozZz09LzM5NDkwOTM5MjMyNjc0ODY2NTAuanBn.png)
R4的f函數:
其雅可比矩陣為:
-
![J_F(x_1,x_2,x_3) =\begin{bmatrix}\frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \frac{\partial y_1}{\partial x_2} & \frac{\partial y_1}{\partial x_3} \\[3pt]\frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \frac{\partial y_2}{\partial x_2} & \frac{\partial y_2}{\partial x_3} \\[3pt]\frac{\partial y_3}{\partial x_1} & \frac{\partial y_3}{\partial x_2} & \frac{\partial y_3}{\partial x_3} \\[3pt]\frac{\partial y_4}{\partial x_1} & \frac{\partial y_4}{\partial x_2} & \frac{\partial y_4}{\partial x_3} \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_2 & -2 \\ x_3\cos(x_1) & 0 & \sin(x_1) \end{bmatrix}.](/image/aHR0cDovL2ltZy5iaW1nLjEyNi5uZXQvcGhvdG8vakNxci1xbGRNcHY1aTJoYkxTbzdWUT09LzM5NDkwOTM5MjMyNjc0ODY2NjEuanBn.png)
此例子說明雅可比矩陣不一定為方矩陣。
在動力系統中
考慮形為x' = F(x)的動力系統，F : Rn → Rn。如果F(x0) = 0，那么x0是一個駐點。系統接近駐點時的表現通常可以從JF(x0)的特征值來決定。
雅可比行列式
如果m = n, 那么\(F\)是從n維空間到n維空間的函數, 且它的雅可比矩陣是一個方塊矩陣. 於是我們可以取它的行列式, 稱為雅可比行列式.
在某個給定點的雅可比行列式提供了 在接近該點時的表現的重要信息. 例如, 如果連續可微函數\(F\)在\({\bf{p}}\)點的雅可比行列式不是零, 那么它在該點附近具有反函數. 這稱為反函數定理. 更進一步, 如果\({\bf{p}}\)點的雅可比行列式是正數, 則\(F\)在\({\bf{p}}\)點的取向不變；如果是負數, 則\(F\)的取向相反. 而從雅可比行列式的絕對值, 就可以知道函數\(F\)在\({\bf{p}}\)點的縮放因子；這就是為什么它出現在換元積分法中.
對於取向問題可以這么理解, 例如一個物體在平面上勻速運動, 如果施加一個正方向的力\(F\), 即取向相同, 則加速運動, 類比於速度的導數加速度為正；如果施加一個反方向的力\(F\), 即取向相反, 則減速運動, 類比於速度的導數加速度為負.
梯度
在向量微積分中，標量場的梯度是一個向量場。標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向，梯度的長度是這個最大的變化率。更嚴格的說，從歐氏空間Rn到R的函數的梯度是在Rn某一點最佳的線性近似。在這個意義上，梯度是雅戈比矩陣的一個特殊情況。
在單變量的實值函數的情況，梯度只是導數，或者，對於一個線性函數，也就是線的斜率。
梯度一詞有時用於斜度，也就是一個曲面沿着給定方向的傾斜程度。可以通過取向量梯度和所研究的方向的點積來得到斜度。梯度的數值有時也被稱為梯度。
在二元函數的情形，設函數z=f(x,y)在平面區域D內具有一階連續偏導數，則對於每一點P(x,y)∈D，都可以定出一個向量
(δf/x)*i+(δf/y)*j
這向量稱為函數z=f(x,y)在點P(x,y)的梯度，記作gradf(x,y)
類似的對三元函數也可以定義一個：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 記為grad[f(x,y,z)]
梯度本意是一個向量（矢量），當某一函數在某點處沿着該方向的方向導數取得該點處的最大值，即函數在該點處沿方向變化最快，變化率最大（為該梯度的模）。
偏導數
在數學中，一個多變量的函數的偏導數，就是它關於其中一個變量的導數而保持其他變量恆定（相對於全導數，在其中所有變量都允許變化）。偏導數在向量分析和微分幾何中是很有用的。
適用領域范圍
向量分析
適用領域范圍
微分幾何
意 義
表示固定面上一點的切線斜率
引入
偏導數
求法
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