10.5歐拉路徑和歐拉回路(Euler Paths and Circuits)

引入:七橋問題

"一筆畫"--》針對邊而言

歐拉圖(Eulerian graph)

1. 圖G的歐拉回路(Euler circuit)指的是遍歷G中每一條邊的簡單回路(simple circuit), 這樣的軌跡稱為歐拉環游(Euler tour)
2. 圖G的歐拉路徑(Euler path)指的是遍歷G中每一條邊的簡單路徑(simple path), 這樣的軌跡稱為歐拉軌跡(Euler trail)
3. 有歐拉回路的圖稱為歐拉圖，無歐拉回路但是有歐拉路徑的圖稱為半歐拉圖

定理1：

連通圖G是歐拉圖，當且僅當，G是連通的，並且沒有度為奇數(odd)的頂點

定理2：

連通圖G是存在從a到b的歐拉路徑，當且僅當，G是連通的，並且除a和b(a≠b)的度為奇數(odd)之外，沒有度為奇數(odd)的頂點

定理3：

有向連通圖G是歐拉圖，當且僅當，G是連通的，並且G的每個頂點的入度＝出度

定理4：

有向連通圖G含有歐拉通路，當且僅當，G是連通的，並且G中除兩個頂點(節點不相等)外，其余每個頂點的入度=出度，且此兩點滿足\(deg^-(u)-deg^+(v)=±1\)

證明均略

哈密頓路徑與回路(Hamilton Paths and Circuits)

哈密頓圖(Hamiltonian Graph)

1. 圖G的哈密頓回路(Hamiltonian circuit)指的是遍歷G中每一個點且只遍歷一次的回路, 這樣的軌跡稱為哈密頓環游(Hamiltonian tour)
2. 圖G的哈密頓路徑(Hamiltonian path)指的是遍歷G中每一個點且只遍歷一次的路徑, 這樣的軌跡稱為哈密頓軌跡(Hamiltonian trail)
3. 有哈密頓回路的圖稱為哈密頓圖，無哈密頓回路但是有哈密頓路徑的圖稱為半哈密頓圖

遺憾的是，現在還沒有快速判別一個圖是否為哈密頓圖的方法

記憶輪(memory wheel)

具有\(2^n\)的記憶輪能存儲n位二進制的所有信息；且其和相應的哈密頓圖是一一對應的

當然，相應轉化后的歐拉圖也具有一一對應關系，且更任意找

一些哈密頓圖判定的充分條件

定理1：

簡單圖G的最小度數的頂點度數≥n/2

定理2：

簡單圖G的任意一對相鄰點的度數和≥n

證明均略