基本概念及定理
1. 歐拉通路、歐拉回路、歐拉圖
無向圖：
1) 設G是連通無向圖，則稱經過G的每條邊一次並且僅一次的路徑為歐拉通路；
2) 如果歐拉通路是回路（起點和終點是同一個頂點），則稱此回路為歐拉回路（Euler circuit）；
3) 具有歐拉回路的無向圖G稱為歐拉圖（Euler graph）。
有向圖：
1) 設D是有向圖，D的基圖連通，則稱經過D的每條邊一次並且僅一次的有向路徑為有向
歐拉通路；
2) 如果有向歐拉通路是有向回路，則稱此有向回路為有向歐拉回路（directed Euler circuit）；
3) 具有有向歐拉回路的有向圖D稱為有向歐拉圖（directed Euler graph）。
請思考圖5.1中的無向圖及有向圖是否為歐拉圖或有向歐拉圖。
圖5.1 歐拉回路及有向歐拉回路
2. 定理及推論
歐拉通路和歐拉回路的判定是很簡單的，請看下面的定理及推論。
定理5.1 無向圖G存在歐拉通路的充要條件是：
G為連通圖，並且G僅有兩個奇度結點（度數為奇數的頂點）或者無奇度結點。
推論5.1：
1) 當G是僅有兩個奇度結點的連通圖時，G的歐拉通路必以此兩個結點為端點。
2) 當G是無奇度結點的連通圖時，G必有歐拉回路。
3) G為歐拉圖（存在歐拉回路）的充分必要條件是G為無奇度結點的連通圖。
EXP圖5.1(a)所示的無向圖，存在兩個奇度頂點v2和v5，所以存在歐拉通路，且歐拉通路必
以這兩個頂點為起始頂點和終止頂點；該無向圖不存在歐拉回路。圖5.1(b)所示的無向圖為歐拉
圖。
定理5.2 有向圖D存在歐拉通路的充要條件是：
D為有向圖，D的基圖連通，並且所有頂點的出度與入度都相等；或者除兩個頂點外，其余
頂點的出度與入度都相等，而這兩個頂點中一個頂點的出度與入度之差為1，另一個頂點的出度
與入度之差為-1。
推論5.2：
1) 當D除出、入度之差為1，-1的兩個頂點之外，其余頂點的出度與入度都相等時，D的
有向歐拉通路必以出、入度之差為1的頂點作為始點，以出、入度之差為-1的頂點作為
終點。
2) 當D的所有頂點的出、入度都相等時，D中存在有向歐拉回路。
3) 有向圖D為有向歐拉圖的充分必要條件是D的基圖為連通圖，並且所有頂點的出、入度
都相等。
例如圖5.1(c)所示的有向圖，頂點v2和v4入度和出度均為1；頂點v1的出度為2、入度為1，
二者差值為1；頂 點v3的出度為1、入度為2，二者相差為-1；所以該有向圖只存在有向歐拉通路，
且必須以頂點v1為始點，以頂點v3為終點。圖5.1(d)所示的有向圖不存在有向歐拉通路。
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 #include <iostream> 4 using namespace std; 5 const int MAX = 60; 6 int edge[MAX][MAX]; 7 int degree[MAX]; 8 int in[MAX],out[MAX]; 9 int n,type; //judge grape 類型 10 int e; //邊數 11 int top; // 棧底 初始化為 0； 12 int stack[MAX]; //記錄歐拉通路的路徑 13 int vis[MAX]; //是否已經訪問； 14 void DFS(int cur) //連通性的判斷 是否完全訪問掉 15 { 16 int i ; 17 for(i = 0; i<n; i++) 18 { 19 if(!vis[i]&&edge[cur][i]) 20 { 21 vis[i] = 1; 22 DFS(i); 23 } 24 } 25 } 26 27 28 // 判斷是否存在歐拉回路: 29 // 無向圖中: 連通圖且所有頂點度數為偶數 30 // 有向圖中: 連通圖且所有頂點的入度等於出度 31 bool judge() 32 { 33 memset(vis,0,sizeof(vis)); //訪問初始化 34 DFS(0); 35 for(int i =0; i<n; i++) 36 { 37 if(!vis[i]) 38 return false; 39 } //連通性的判斷 是否完全訪問掉 40 if(type) //有向圖 41 { 42 for (int i=0; i<n; i++) 43 if (in[i] != out[i]) 44 { 45 return false; 46 } 47 } 48 else //無向圖 49 { 50 for(int i =0; i<n; i++) 51 { 52 if(degree[i]%2) 53 { 54 return false; 55 } 56 } 57 } 58 return true; 59 } 60 // 有向圖的歐拉回路, 在 cur 點, 從 pos 點開始搜 61 void DFS_first(int cur ,int pos) 62 { 63 int i,a,b; 64 stack[top++] = cur; 65 for(i = pos;i<n;i++) 66 { 67 if(edge[cur][i] != 0) 68 { 69 edge[cur][i] = 0; 70 out[cur]--; 71 in[i]--; 72 DFS_first(i,0); 73 break; 74 } 75 } 76 if(i==n && top<n) // 走投無路, 而且還有邊的時候, 退回一步 77 { 78 b = stack[--top]; 79 a = stack[--top]; 80 edge[a][b] = 1; 81 out[a]++; 82 in[b]++; 83 DFS_first(a,b+1); 84 } 85 } 86 // 無向圖的歐拉回路, cur 點, 從 pos 點開始搜 87 void DFS_two(int cur,int pos) 88 { 89 int i,a,b; 90 stack[top++] = cur; 91 for(i = pos;i<n;i++) 92 { 93 if(edge[cur][i] != 0) 94 { 95 edge[i][cur] = 0; 96 edge[cur][i] = 0; 97 degree[cur]--; 98 degree[i]--; 99 DFS_two(i,0); 100 break; 101 } 102 } 103 if(i==n && top<n) // 走投無路, 而且還有邊的時候, 退回一步 104 { 105 b = stack[--top]; 106 a = stack[--top]; 107 edge[a][b] = 1; 108 edge[b][a] = 1; 109 degree[a]++; 110 degree[b]++; 111 DFS_two(a,b+1); 112 } 113 114 } 115 int main() 116 { 117 printf("0, 無向圖 1, 有向圖 : "); 118 scanf("%d", &type); 119 printf("輸入頂點個數: "); 120 scanf("%d",&n); 121 memset(edge,0,sizeof(edge)); 122 memset(degree,0,sizeof(degree)); //無向圖的度數 123 memset(in,0,sizeof(in)); //有向圖的入度 124 memset(out,0,sizeof(out)); //有向圖的出度 125 126 while(true) 127 { 128 int a,b; //邊集 129 scanf("%d %d",&a,&b); 130 if(!(a||b)) // 0 0 break 131 { 132 break; 133 } 134 edge[a][b] = 1; 135 in[b]++; 136 out[a]++; 137 if(!type) // 如果是無向圖 138 { 139 edge[b][a] = 1; 140 degree[a]++; //無向圖的度數 141 degree[b]++; 142 } 143 } 144 if(judge()) 145 { 146 printf("\n一條歐拉回路: "); 147 if(type) 148 DFS_first(0,0); 149 else 150 DFS_two(0,0); 151 for(int i =0; i<top; i++) 152 { 153 printf("%d",stack[i]); 154 if(i+1!=top) 155 printf(" -> "); 156 } 157 putchar('\n'); 158 } 159 else 160 { 161 printf("\n不存在歐拉回路!\n"); 162 } 163 return 0; 164 }
摘自《圖論算法理論、實現及應用-王桂平》