筆者在圖論掙扎了這么久，今天總算暫時到頭了，鑒於歐拉路徑和歐拉回路的精妙（e xin)程度，在這里做一個小小的總結。
首先歐拉絕對是個偉（huai）人，創造了不少東西，其中就包括歐拉路徑和歐拉回路這種隨便虐死蒟蒻萌新的***
定義
歐拉回路：從圖上一個點u出發不重復地經過每一條邊后，再次回到點u的一條路徑。
歐拉路徑：從圖上一個點u出發不重復地經過每一條邊的一條路徑（不必回到點u）。
歐拉圖即存在歐拉回路的圖，半歐拉圖即存在歐拉路徑的圖。
（就像是一筆畫，要求每條邊只走一次，但每個點可以多次經過，而要求每個點只走一次的模型是哈密頓環。注意歐拉回路必須回到起點，歐拉路徑則不必，可以說歐拉回路一定是歐拉路徑，反之不成立。）
定理
（1）無向圖歐拉回路的判定：圖G為連通圖，所有頂點的度為偶數。
（2）無向圖歐拉路徑的判定：圖G為連通圖，除有2個頂點度為奇數外，其他頂點度都為偶數。
（3）有向圖歐拉回路的判定：圖G的①基圖聯通，所有頂點的入度等於出度。
（4）有向圖歐拉路徑的判定：圖G的基圖聯通，存在頂點u的入度比出度小1，v入度比出度大一，其余所有頂點的入度等於出度。（此時u即路徑的起點，v即終點）
① 忽略有向圖所有邊的方向，得到的無向圖稱為該有向圖的基圖
“聯通”標了紅字，當然很重要！有時（實際上是很多時候）給出的原圖並不是一個連通圖，需小心處理，后面注意事項會提。
其他定理（非正式定理，但做題時很有用）
（5）無向圖為（半）歐拉圖時，只需用1筆畫成；無向圖為非（半）歐拉圖時，即奇點（度為奇數的點）數k>2，需用k/2筆畫成。
（6）可以用加邊的方式把一個非歐拉圖變成歐拉圖。對於無向圖來說，每個奇點都需加一個度，加的邊為 奇點數/2 ；對於有向圖來說，每個點都需加上入度與出度之差，加的邊數為每個點入度與出度之差的絕對值之和再除以2。
筆者在學習（5）（6）定理的時候，曾有過一個疑問：如果要除以2的數是個奇數該怎么辦，該向上還是向下取整呢？我承認這是個智障的問題。首先介紹一個定理：一個圖的奇點數一定是偶數。證明很簡單，可以看看這里：（https://blog.csdn.net/c_lyr/article/details/53082753
那么對於（5），和（6）的前半條，肯定不會出現奇數除以2；對於（6）的后半條，我們考慮當入度與出度之差是偶數時，不用擔心，而當入度與出度之差是奇數時，則入度與出度之和一定是奇數，即這個點是一個奇點，而奇點有偶數個，偶數個奇數相加，結果也是偶數，因此絕不會出現和是奇數的情況。
求歐拉回路和歐拉路徑
用DFS遍歷整張圖，走過的邊標記（如果是無向圖，注意同時標記相反方向的邊），在DFS返回后把點（也可以是邊，看題目要求怎樣輸出）入棧，最后依次出棧即為路徑序列。代碼很簡單，去網上搜吧，就不貼了（筆者懶）。。。
注意事項
求歐拉回路與歐拉路徑其實並不是很難的，套模板就行了。難的是那種給一張圖統計操作數的題，根據筆者的經驗，這種題多半是跟點的入度和出度有關的。當你一臉懵逼不知所措時，不妨從入度和出度入手，靈活運用各種定理分類討論，往往能找到問題的突破口。還有就是前面提到的，當原圖有多個連通塊時，需先辨認出每個連通塊（並查集或DFS，個人比較喜歡並查集），再分別處理。對於只有一個而沒有邊的塊，一般不用考慮，跳過就行了。
附上一道還不錯的題 https://loj.ac/problem/10111
至此，我已經介紹了關於歐拉回路和歐拉路徑的不少知識（坑點），更多的經驗還需在刷題中獲得，祝大家AC愉快。
2018-08-22