歐拉圖
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定義：
歐拉回路：圖G的一個回路，如果恰通過圖G的每一條邊，則該回路稱為歐拉回路，具有歐拉回路的圖稱為歐拉圖。歐拉圖就是從圖上的一點出發，經過所有邊且只能經過一次，最終回到起點的路徑。
歐拉通路：即可以不回到起點，但是必須經過每一條邊，且只能一次。也叫"一筆畫"問題。
性質：
歐拉回路：一個歐拉回路，刪掉一個點，仍然是一個歐拉回路。從一個歐拉回路拖走一個小歐拉回路，結果也是一個歐拉回路。
判定（充要）：
歐拉回路：1: 圖G是連通的，不能有孤立點存在。
2: 對於無向圖來說度數為奇數的點個數為0;對於有向圖來說每個點的入度必須等於出度。
歐拉通路：1: 圖G是連通的，無孤立點存在。
2: 對於無向圖來說，度數為奇數的的點可以有2個或者0個，並且這兩個奇點其中一個為起點另外一個為終點。對於有向圖來說，可以存在兩個點，其入度不等於出度，其中一個出度比入度大1，為路徑的起點；另外一個入度比出度大1，為路徑的終點。
算法（求歐拉回路）：
Fleury算法:
設圖G是一個無向歐拉圖，則按照下面算法求歐拉回路:
1:任取G中一個頂點v0,令P0 = v0.
2:假設沿Pi = v0e1v1e2v2……eivi 走到了頂點 vi,按照下面方法從E(i) = E(G) - {e1, e2, e3,…,ei} 中選e(i ＋ 1),選擇后刪除e(i +１)這條邊.
a):e(i+1)余vi關聯
b):除非無別的邊可選，否則e(i+1)不應是Gi = G – {e1,e2,…,ei} 中的橋.假若迫不得已選的是橋,除刪除這條邊之外,還應該再把孤立點從Gi中移除(選擇橋邊必然會形成孤立的點).
3:當步驟 2 無法繼續執行時停止算法.
當算法停止時，所得到的簡單回路 Pm = = v0e1v1e2v2e3v3……emvm (vm = v0) 為圖G的一條歐拉回路.
下面用圖來描述：
隨便選擇一個起點 v1。當前處在 v1 點，有兩種走法 v1 – v9,v1 – v10，這倆條邊都不是橋邊，那么隨便選擇一個，<v1, v10>這條邊吧。那么圖就會成為這樣.Eu = (走過的邊集){<v1, v10>}
當前到了 V10 點，有<v10,v4>,<v10,v3>,<v10, v8>，先看<v10,v8>這條邊吧，如果選擇了這條邊那么圖就會成為這樣：
很顯然形成了兩個圖，上下兩個圖不連通，即<v10, v8>這條邊就是所謂的橋邊，算法中說除非別無他選，否則不應該選擇橋邊，那么這條邊就不能選擇。回到上面，由於<v10,v4>,<v10,v3>都不是橋邊，所以隨便選擇<v10,v4>吧. Eu={<v1, v10>,<v10,v4>}
到了 v4 這個點，<v4, v2>這條邊是橋邊,但是別無選擇，只好選擇這條邊.選擇完這條邊這時不僅要從原圖中刪除這條邊，由於點4成為了孤點，所以這個點也該從原圖刪除。Eu={<v1,v10>,<v10,v4>,<v4,v2>}.
同理到達 v2 只好選擇<v2,v3>，刪除孤點 v2和邊. Eu{<v1,v10>,<v10,v4>,<v4,v2><v2,v3>}.
別無他選，<v3,v10>。Eu{<v1,v10>,<v10,v4>,<v4,v2><v2,v3><v3,v10>}.
同樣,選擇<v10, v8>，Eu{<v1,v10>,<v10,v4>,<v4,v2><v2,v3><v3,v10>,<v10,v8>}.
此時到了 v8 同第一次到達v10時的情況，不能選擇<v8,v9>這條橋邊,選擇<v8,v6>,Eu{<v1,v10>,<v10,v4>,<v4,v2><v2,v3><v3,v10>,<v10,v8>,<v8,v6>}.
到達v6，選擇<v6,v7>,刪點刪邊,Eu{<v1,v10>,<v10,v4>,<v4,v2><v2,v3>,<v3,v10>,<v10,v8>,<v8,v6>,<v6,v7>}.以下就不給圖了(逃;
然后接下來的選擇都是別無他選,依次選擇<v7,v8><v8,v9><v9,v1>，最后得到的歐拉邊集Eu{<v1,v10>,<v10,v4>,<v4,v2><v2,v3>,<v3,v10>,<v10,v8>,<v8,v6>,<v6,v7>,<v7,v8><v8,v9><v9,v1>},於是我們就得到了一條歐拉回路.
代碼：
個人感覺時間復雜度不如基本法，主要是判斷橋邊的時間復雜度有點高，達到O(1)才和基本法一樣，所以就放棄寫了。
基本(套圈)法
首先從一個節點(v0)出發，隨便往下走(走過的邊需要標記一下，下次就別走了)，當走到不能再走的時候，所停止的點必然也是起點(因為所有的點的度數都是偶數，能進去肯定還會出來，再者中間有可能再次經過起點，但是如果起點還能繼續走，那么就要繼續往下搜索，直到再次回來時不能往下搜索為止)，然后停止時，走過的路徑形成了一個圈，但因為是隨便走的，所以可能有些邊還沒走就回來了，那些剩下的邊肯定也會形成一個或者多個環，然后可以從剛才終止的節點往前回溯，找到第一個可以向其他方向搜索的節點(vi)，然后再以這個點繼續往下搜索，同理還會繼續回到該點(vi)，於是這個環加上上次那個環就構成了一個更大的環，即可以想象成形成了一條從 v0 到 vi的路徑，再由 vi 走了一個環回到 vi，然后到達v0 的一條更長的路徑，如果當前的路徑還不是最長的，那么繼續按照上面的方法擴展。只需要在回溯時記錄下每次回溯的邊，最后形成的邊的序列就是一條歐拉回路。如果要記錄點的順序的話，那么每訪問一個點，就把這個點壓入棧中，當某個點不能繼續搜索時，即在標記不能走的邊是，這個點成為了某種意義上的孤點，然后把這個點輸出最后得到的就是一條歐拉回路路徑的點的軌跡。
總之，求歐拉回路的方法是，使用深度優先搜索，如果某條邊被搜索到，則標記這條邊為已選擇，並且即使回溯也不能將當前邊的狀態改回未選擇，每次回溯時，記錄回溯路徑。深度優先搜索結束后，記錄的路徑就是歐拉回路。
下面用圖描述一遍：
假設我們選擇從v1開始走,由於隨便走，所以可能出現以下走法
第一步：v1 -- v9
第二步：v9 -- v8
第三步：v8 -- v10
第四步：v10 -- v1
此時由於走過的邊不能再走，那么從 v1 就無法繼續向下探索,所以往前回溯,記錄邊集Eu{<v1, v10>}，此時回溯到 v10 ,發現可以繼續走，那么
第五步: v10 -- v3
第六步: v3 -- v2
第七步: v2 -- v4
第八步: v4 – v10
發現已經無路可走，那么繼續回溯，記錄回溯路徑得到Eu{<v1,v10>, <v10, v4>, <v4, v2>, <v2, v3>, <v3, v10>, <v10, v8>}，此時回溯到了 v8.發現可以向其他方向搜索, 那么
第九步：v8 -- v6
第十步：v6 --v7
第十一步：v7-- v8
又無路可走，繼續回溯Eu{<v1,v10>, <v10, v4>, <v4, v2>, <v2, v3>, <v3, v10>, <v10, v8>, <v8, v7>, <v7, v6>,<v6,v8>,<v8,v9>,<v9,v1>}，到這里整個DFS就結束了，我們得到的邊集Eu就是一條歐拉回路。
具體實現與分析:
使用鏈式前向星和DFS實現尋找歐拉回路的算法，用鏈式前向星存無向邊時每條邊要存儲兩次。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <algorithm> 4 #include <stack> 5 #include <queue> 6 using namespace std; 7 8 const int MAXV = 100 + 7; 9 const int MAXE = 100 * 100 + 7; 10 int head[MAXV]; 11 int V, E; 12 13 typedef struct EdgeNode 14 { 15 int to; 16 int w; 17 int next; 18 }edgeNode; 19 edgeNode Edges[MAXE]; 20 21 bool visit[2 * MAXE]; 22 stack<int> stv; 23 queue<int> quv;//點集 24 queue<int> que;//邊集 25 26 void EulerDFS(int now) 27 { 28 stv.push(now);//每訪問一個點，就把該點壓入棧 29 for(int k = head[now]; k != -1; k = Edges[k].next) 30 { 31 if(!visit[k]) 32 { 33 visit[k] = true; //有向圖每條邊保存了兩次，也要標記兩次 34 if(k & 1) 35 visit[k + 1] = true; 36 else 37 visit[k - 1] = true; 38 EulerDFS(Edges[k].to); 39 que.push(k);//回溯時記錄邊 40 } 41 } 42 quv.push(stv.top());//記錄點 43 stv.pop(); 44 } 45 46 int main() 47 { 48 //freopen("in.txt", "r", stdin); 49 scanf("%d%d", &V, &E); 50 memset(head, -1, sizeof(head)); 51 for(int i = 1; i <= E; i++) 52 { 53 int u, v, w; 54 scanf("%d%d%d", &u, &v, &w); 55 Edges[2 * i - 1].to = v; //雙向儲存邊 56 Edges[2 * i - 1].w = w; 57 Edges[2 * i - 1].next = head[u]; 58 head[u] = 2 * i - 1; 59 Edges[2 * i].to = u; 60 Edges[2 * i].w = w; 61 Edges[2 * i].next = head[v]; 62 head[v] = 2 * i; 63 } 64 memset(visit, false, sizeof(visit)); 65 EulerDFS(1); 66 return 0; 67 }