定理1：連通多重圖中存在歐拉回路當且僅當圖中所有頂點的度數為偶數。
首先，我們來證明充分性，即存在歐拉回路則圖中的所有頂點的度數必然為偶數。在圖中任取一點，以該點作為起點，沿着歐拉回路走，當前頂點的出度為1，然后經過其它的頂點，注意到如果歐拉路徑經過一個頂點（包括起點），它必然離開這個點，這樣出入度之和為偶數，直到所有的邊逐一被走過，回路的終點在起點處結束，使得起點的入度加1，這樣經過起點的度數和變成偶數，歐拉回路結束（注意到我們未加說明的假設了邊的個數是有窮的，因此這個過程必然結束）。
其次，我們來證明必要性，即如果連通圖中所有頂點的度數為偶數，則必然存在歐拉回路。我們通過構造性的存在性證明來說明這一點（這里有一些證明方法的相關介紹）。首先，我們在連通圖中找尋一條回路（回路的選取是任意的並且總是能找到的，由上述充分性的證明可以有效的說明這一點），如果這條回路就是歐拉回路，那么結論已然成立了，否則，我們刪除掉該回路中的所有邊，出現孤立的頂點就忽略它，那么子圖（不一定是連通的，並且仍然滿足所有頂點的度數都是偶數的性質）與刪除掉的回路一定有公共頂點（圖的連通性保證了這一點），以該點作為起點繼續找尋回路，然后刪除，續行此法，直到所有的邊都被刪除為止（同上述充分性的證明中一樣，邊的個數的有窮性保證了這個過程必然結束），所有這些刪除的回路連接起來就構成了一條歐拉回路。
至此，我們完成了歐拉回路存在性的充要條件的證明，並且應當引起注意的是在構造性的存在性證明中我們給出了一種找尋歐拉回路的算法過程。
接下來，我們證明下述定理。
定理2：連通多重圖中存在歐拉通路且不存在歐拉回路當且僅當連通圖中有且只用兩個頂點的度數為奇數。
仍然先來證明充分性，即存在歐拉通路則圖中有且只有兩個頂點的度數為奇數，其他頂點的度數皆為偶數，注意到由於起點和終點是不同的，因此歐拉通路的起點和終點必然是兩個奇數度的頂點，此外，不可能再有其他的奇數度的頂點了，因為我們沿着歐拉通路的起點走開來，只要經過一個頂點必然離開該頂點，一條入度邊搭配一條出度邊，共同為該頂點貢獻偶數度，直到到達終點為止（當然，也可能再離開，只要終點還有邊沒有被走過）。
接下來，我們來證明必要性，即連通圖中有且只有兩個奇數度頂點，則必然存在歐拉通路，怎么來證明這一點呢？一種非常巧妙的方式是把歐拉通路做成歐拉回路，換句話說，我們連接兩個奇數度頂點，這樣連通圖中所有頂點的度數均為偶數，由剛剛證明的定理1可知，該連通圖存在歐拉回路，注意到只需把我們自己增加的那條輔助邊刪除，便證明了歐拉通路的存在性，我們再一次借助構造性的存在性證明來證明了這一點。
最后，一筆畫的智力題弱爆了的感覺有木有：）。
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Author：海峰:)
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