有向圖與無向圖：歐拉路徑&歐拉回路（一筆畫）

咕了好久的圖論的一小小小部分。

1、定義

歐拉路徑 ：不重復經過圖上每一條邊的路徑 

歐拉回路 ： 起止點相同的歐拉路徑

2、判定

$\bullet$ 有向圖：

　　$\bullet$  歐拉路徑 ：圖中有且僅有 $1$ 個點出度比入度多 $1$ ，為起點；圖中有且僅有 $1$ 個點入度比出度多 $1$ ，為終點；其余節點 入度 $=$ 出度。

　　$\bullet$  歐拉回路 ：圖中所有點 入度 $=$ 出度，起止點為任意點。

$\bullet$ 無向圖：

　　  $\bullet$  歐拉路徑 ：圖中僅有 $2$ 個點度數為奇數，其余點度數為偶數，這兩個奇數點可以任意選為起點終點。

　   $\bullet$  歐拉回路 ：所有點度數都是偶數，起止點任意。

其實這些概念還是很好理解的，有進就有出，否則肯定有走不通的，回路就是起止點連在一起了。

3、尋找

假設我們已經選好起點，那么一次對圖的 dfs 即可求出，我們只需要用棧記錄即可。

注意！如果題中要求按字典序，那最好是用 vector 或者鄰接矩陣。

附上例題：傳送門~。

哦對了，無向圖的最好是只用鄰接矩陣，不然刪邊很麻煩的！！

例題代碼，算是有向圖歐拉路徑的板子，一個通了別的也通了。

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<string>
#include<climits>
#include<stack>
using namespace std;
template <typename T>
inline void read(T &x){
    x=0;char ch=getchar();bool f=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    if(f)x=-x;
}
template <typename T,typename ...Args>
inline void read(T &tmp,Args &...tmps){read(tmp);read(tmps...);}
const int N = 1e6 + 5;
int in[N],out[N],n,m,now[N];
vector<int>g[N];
stack<int>s;
int flag = 1,cnt[2],st = 1;
inline void dfs(int u){
    for(int i=now[u];i<g[u].size();i=now[u]){
        now[u] = i + 1;//避免重復走
        dfs(g[u][i]);
    }
    s.push(u);//記錄，也可以手寫棧更快
}
signed main(){
    read(n,m);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int u,v;
        read(u,v);
        g[u].push_back(v);
        in[v]++;
        out[u]++;   //統計結點入度出度，如果是無向圖統一一個數組記錄度
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)sort(g[i].begin(),g[i].end());//題里要字典序，忽略啦~
    for(int i=1;i<=n;++i){
        if(in[i] != out[i])flag = 0;
        if(out[i] == in[i] + 1)cnt[1]++,st = i;
        if(in[i] == out[i] + 1)cnt[0]++;    
    }
    if((!flag) && !(cnt[0] == cnt[1] && cnt[0] == 1))return printf("No"),0;//既沒有回路也沒有路徑
    dfs(st);
    while(!s.empty())printf("%d ",s.top()),s.pop();//輸出
}

 

無向圖歐拉回路例題

代碼比較丑啦，但是精髓還在。

#include<cstdio>
#include<stack>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define rep(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);++i)
#define Rep(i,a,b) for(register int i=(a);i<(b);++i)
#define rrep(i,a,b) for(register int i=(a);i>=b;--i)
using namespace std;
template <typename T>
inline void read(T &x){
    x=0;char ch=getchar();bool f=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    if(f)x=-x;
}
template <typename T,typename ...Args>
inline void read(T &tmp,Args &...tmps){read(tmp);read(tmps...);}
const int N = 55;
int g[N][N],t,n,du[N];
struct qwq{
    int u,v;    
};
stack<qwq>s;
int st;
inline void init(){
    while(!s.empty())s.pop();
    memset(g,0,sizeof(g));
    memset(du,0,sizeof(du));
}
void dfs(int cur){
    rep(i,1,50){
        if(g[cur][i]){
            g[cur][i]--,g[i][cur]--;
            dfs(i);
            s.push((qwq){cur,i});
        }
    }
}
inline int solve(){
    int ji = 0;
    rep(i,1,50){
        ji += du[i]&1;
    }
    if(ji)return 0;
    dfs(st);
    return 1;
}

signed main(){
    read(t);
    rep(i,1,t){
        read(n);    
        st = 0;
        rep(j,1,n){
            int u,v;
            read(u,v);
            g[u][v]++,g[v][u]++;
            du[u]++,du[v]++;
            if(!st)st = u;
        }
        printf("Case #%d\n",i);
        if(!solve())puts("some beads may be lost");
        else while(!s.empty())printf("%d %d\n",s.top().u,s.top().v),s.pop();
        putchar('\n');
        init();
    }
}