函數方程和函數不等式

前言

方程和不等式

在初中，我們稱\(x^2-3x+2=0\)為方程，稱\(x^2-3x+2\leqslant 0\)為不等式。而高中階段的方程和不等式中往往會滲透函數，故引出函數方程和函數不等式。

函數方程

比如，給定函數\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，0<x<1}\\{2(x-1)，x\ge 1}\end{array}\right.\)，若\(f(a)=f(a+1)\)，求\(f(\cfrac{1}{a})\)的值，則這樣的方程\(f(a)=f(a+1)\)我們稱為函數方程。求解函數方程時要么用到其解析式[大多情形下]，要么用到單調性[很少]。

例2 【2019屆高三理科函數及其表示課時作業第18題】設函數\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，0<x<1}\\{2(x-1)，x\ge 1}\end{array}\right.\)，若\(f(a)=f(a+1)\)，求\(f(\cfrac{1}{a})\)的值_________。

分析：當\(0<a<1\)時，\(a+1>1\)，

則\(f(a)=f(a+1)\)變形為\(\sqrt{a}=2[(a+1)-1]\)，即\(\sqrt{a}=2a\)，

解得\(a=0\)(舍去)或\(a=\cfrac{1}{4}\)；

當\(a\ge 1\)時，\(a+1\ge 2\)，

則\(f(a)=f(a+1)\)變形為\(2(a-1)=2[(a+1)-1]\)，解得\(a\in \varnothing\)，

綜上，\(a=\cfrac{1}{4}\)，

故有\(f(\cfrac{1}{a})=f(4)=2(4-1)=6\)

函數不等式

比如，已知函數\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x，x\leqslant 0}\\{ln(x+1)，x>0，}\end{array}\right.\) 若\(f(2-x^2)>f(x)\)，求\(x\)的范圍。則不等式\(f(2-x^2)\)\(>f(x)\)稱為函數不等式。求解函數不等式時常常要用到函數的相關性質[比如定義域，單調性，奇偶性等]，此時給定的解析式僅僅是為了得到相關的性質。

例11 【2017\(\cdot\)榆林模擬】函數\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)，則不等式\(f(a-2)+f(a^2-4)<0\)的解集是【】

$A.(\sqrt{3}，2)$ $B.(-3，2)$ $C.(1，2)$ $D.(\sqrt{3}，\sqrt{5})$

分析：這類題目往往需要取得符號\(f\)，而在此之前，需要轉化為\(f(M)<( 或>)f(N)\)的形式，

然后利用定義域和單調性去掉對應法則符號，就轉化為了一般的不等式組了。

解析：先求定義域，令\(\cfrac{1+x}{1-x}>0\)，解得定義域\((-1，1)\)；

再求奇偶性，由於\(f(-x)=ln\cfrac{1-x}{1+x}-sinx\)，\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)，

所以\(f(-x)+f(x)=0\)，故函數為奇函數；最后分析單調性，

法一，基本函數法，令\(g(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}=ln(-1-\cfrac{2}{x-1})\)，由於\(u=-1-\cfrac{2}{x-1}\)為增函數，

所以函數\(g(x)\)為增函數，故函數\(f(x)=g(x)+sinx\)為\((-1，1)\)上的增函數，

法二，導數法，\(f'(x)=\cfrac{2}{1-x^2}+cosx>0\)，故函數\(f(x)\)為\((-1，1)\)上的增函數，

到此需要的性質基本備齊了[定義域，單調性，奇偶性]，

由\(f(a-2)+f(a^2-4)<0\)，

變換得到\(f(a-2)<-f(a^2-4)=f(4-a^2)\)，

由定義域和單調性得到以下不等式組：\(\begin{cases}-1<a-2<1\\ -1<a^2-4<1 \\a-2<4-a^2 \end{cases}\)，

解得\(\sqrt{3}<a<2\)，故選\(A\)。